Lời giải:

Gọi tọa độ của \(M=(a,b,c)\)

Vì \(M\in (\Delta)\Rightarrow \frac{a-2}{-3}=\frac{b}{1}=\frac{c+1}{2}=t\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=-3t+2\\b=t\\c=2t-1\end{matrix}\right.\)

Mặt khác \(M\in (P)\Rightarrow a+2b-3c+2=0\)

\(\Leftrightarrow -3t+2+2t-3(2t-1)+2=0\)

\(\Leftrightarrow -7t+7=0\Rightarrow t=1\)

Do đó \(M(-1,1,1)\)

Kẻ \(SH\perp AC\left(H\in AC\right)\)

Do \(\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

\(SA=\sqrt{AC^2-SC^2}=a;SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=2a^2\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.2a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)

Ta có \(AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=\frac{a}{2}\Rightarrow CA=4HA\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)

Do BC//\(\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(B,\left(SAD\right)\right)=d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)

Kẻ \(HK\perp AD\left(K\in AD\right),HJ\perp SK\left(J\in SK\right)\)

Chứng minh được \(\left(SHK\right)\perp\left(SAD\right)\) mà \(HJ\perp SK\Rightarrow HJ\perp\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(H,\left(SAD\right)\right)=HJ\)

Tam giác AHK vuông cân tại K\(\Rightarrow HK=AH\sin45^0=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow HJ=\frac{SH.HK}{\sqrt{SH^2+HK^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\)

Vậy \(d\left(B,\left(SAD\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\)

Đồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}z_1+z_2=6\\z_1z_2=\left(3+2i\right)\left(3-2i\right)=13\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z_1;z_2\) là nghiệm của pt: \(z^2-6z+13=0\)

2.

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;-2;-5\right)\)

Phương trình (P):

\(1\left(x-2\right)-2\left(y-1\right)-5\left(z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2y-5z-5=0\)

3.

\(I=\int\limits^0_{-1}x^2\left(x^2+2x+1\right)dx=\int\limits^0_{-1}\left(x^4+2x^3+x^2\right)dx=\left(\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{3}x^2\right)|^0_{-1}=\frac{1}{30}\)

4.

(P) nhận \(\left(2;-1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (d) qua A và vuông góc (P): \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=1-t\\z=4-t\end{matrix}\right.\)

Hình chiếu A' của A lên (P) là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(2\left(2+2t\right)-\left(1-t\right)-\left(4-t\right)+7=0\Rightarrow t=-1\)

\(\Rightarrow A'\left(0;2;5\right)\)

5.

Pt hoành độ giao điểm: \(lnx=0\Rightarrow x=1\)

Diện tích: \(S=\int\limits^e_1lnxdx-\int\limits^1_{\frac{1}{e}}lnxdx\)

Xét \(I=\int lnxdx\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.lnx-\int dx=xlnx-x\)

\(\Rightarrow S=\left(xlnx-x\right)|^e_1-\left(xlnx-x\right)|^1_{\frac{1}{e}}=1-\left(-1+\frac{2}{e}\right)=2-\frac{2}{e}\)

6.

Pt đường thẳng bị thiếu mẫu số đầu tiên

7.

Đề bài thiếu

1.

Do d song song denta nên cũng nhận \(\left(4;2;3\right)\) là 1 vtcp

Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+4t\\y=-2+2t\\z=2+3t\end{matrix}\right.\)

Dạng chính tắc: \(\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-2}{3}\)

2.

(P) nhận \(\left(2;2;-1\right)\) là 1 vtpt

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc (P) \(\Rightarrow\) d nhận (2;2;-1) là 1 vtcp

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+2t\\z=1-t\end{matrix}\right.\)

Hình chiếu M' của M lên (P) là giao d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(2\left(1+2t\right)+2\left(1+2t\right)-\left(1-t\right)+6=0\) \(\Rightarrow t=-1\)

\(\Rightarrow M\left(-1;-1;2\right)\)

3.

Tọa độ hình chiếu C của A lên (Oyz) là \(C\left(0;2;-3\right)\)

Do B đối xứng A qua C nên C là trung điểm AB, theo công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_C-x_A=1\\y_B=2y_C-y_A=2\\z_B=2z_C-z_A=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(1;2;-3\right)\)

4.

Gọi mặt phẳng là (P) đi, alpha khó tìm kí tự

(P) nhận \(\left(2;2;-1\right)\) là 1 vtpt

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc (P) \(\Rightarrow\) nhận (2;2;-1) là 1 vtcp

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=2+2t\\z=-3-t\end{matrix}\right.\)

Hình chiếu C của A lên (P) là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(2\left(1+2t\right)+2\left(2+2t\right)-\left(-3-t\right)+9=0\) \(\Rightarrow t=-2\)

\(\Rightarrow C\left(-3;-2;-1\right)\)

B là điểm đối xứng A qua (P) \(\Leftrightarrow\) C là trung điểm của AB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_C-x_A=-7\\y_B=2y_C-y_A=-3\\z_B=2z_C-z_A=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-7;-3;0\right)\)

5.

Khẳng định A sai, vì \(\int f'\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C\)

6.

\(z^4-4z^3+7z^2-16z+12=0\)

\(\Leftrightarrow z^4-4z^3+3z^2+4z^2-16z+12=0\)

\(\Leftrightarrow z^2\left(z^2-4z+3\right)+4\left(z^2-4z+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(z^2+4\right)\left(z^2-4z+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z^2=-4=4i^2\\z^2-4z+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=2i\\z=-2i\\z=1\\z=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2i\right)^2+\left(-2i\right)^2+1^2+3^2=2\)

Chọn C

a/ Đơn giản là dùng phép thế:

\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)

\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)

Thế vào pt cuối:

\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)

Vậy là xong

b/ Sử dụng hệ số bất định:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)

Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)

Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):

\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)

a/ \(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\left(x+1\right)\left(\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}-1\right)+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{x+1}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

b/ \(Q\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{x+y+z}{xyz}+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(Q\ge\frac{27\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^3}+\frac{\left(x+y+z\right)^6}{27\left(x+y+z\right)^2}=\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}\)

\(Q\ge\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}+\frac{837}{32\left(x+y+z\right)^2}\)

\(Q\ge3\sqrt[3]{\frac{27^2\left(x+y+z\right)^4}{64^2.27\left(x+y+z\right)^4}}+\frac{837}{32.\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{195}{16}\)

"=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)

Nguyễn Trúc Giang, Duy Khang, Vũ Minh Tuấn, Võ Hồng Phúc, tth, No choice teen, Phạm Lan Hương,

Nguyễn Lê Phước Thịnh, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma

giúp em vs ạ! Cần trước 5h chiều nay ạ

Thanks nhiều