Đáp án D

Đáp án A đúng vì Δ O A K , Δ O B C  là các tam giác vuông

  ⇒ 1 O H 2 = 1 O A 2 + 1 O K 2 = 1 O A 2 + 1 O B 2 + 1 O C 2

Đáp án B đúng vì B C ⊥ O A H , C A ⊥ O B H , A B ⊥ O C H ⇒ A H , B H , C H  là các đường cao trong tam giác 

Đáp án C đúng vì B C ⊥ O A H

Đáp án D sai vì nếu A H ⊥ O B C ⇒ A H ⊥ O K ⇒  mâu thuẫn

Đáp án A

*) Vì OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau nên

*)

theo trên B C ⊥ O A ⇒ B C ⊥ A H (2).

Từ (1) và (2) H là trực tâm tam giác ABC

*) Kẻ O I ⊥ B C tại I; O H ⊥ A I  tại H

⇒ O H ⊥ ( A B C )  

Ta có trong tam giác vuông OAC vuông tại O và OBC vuông tại O:

Đáp án D

OA ⊥ (OBC) nên D sai

Chọn D

Từ giả thiết suy ra: ΔABC cân tại A có:

Gọi I là trung điểm của BC  ⇒ A I ⊥ B C

Giả sử H là trực tâm của tam giác ABC.

Ta thấy  O A ⊥ O B C

Vì  O B ⊥ O A C ⇒ O B ⊥ A C và  A C ⊥ B H nên  A C ⊥ O B H ⇒ O H ⊥ A C   ( 1 )

B C ⊥ O A I ⇒ O H ⊥ B C   ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra  O H ⊥ A B C

Có  O I = 1 2 B C = a 2 2 = O A

=> ΔAOI vuông cân tại O => H là trung điểm AI và  O H = 1 2 A I = a 2

Khi đó:

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của  B C ⇒ B M ⊥ O A M

Vì  O H ⊥ A B C ⇒ 1 O H 2 = 1 O A 2 + 1 O B 2 + 1 O C 2 ⇒ O H = a 2

Tam giác OAH vuông tại H, có  A H = O A 2 − O H 2 = a 2

Diện tích tam giác vuông OAH là  S Δ O A H = 1 2 . O H . A H = a 2 8

Thể tích khối chóp OABH là  

V O A B H = 1 3 . B M . S Δ O A H = 1 3 . a 2 2 . a 2 8 = a 3 2 48

Ta có \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Trong (OBC) kẻ \(OD \bot BC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right);BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {OAD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {OAD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AD\end{array}\)

Trong (OAD) kẻ \(OE \bot AD\)

\( \Rightarrow OE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OE\)

Xét tam giác OBC vuông tại O có

\(\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow OD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác OAD vuông tại O có

\(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{4{a^2}}} \Rightarrow OE = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)