\(P=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+2x^2y^2\)

\(=2x^2y^2-3xy+1=2t^2-3t+\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\) (đặt t = xy \(\Rightarrow t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\))

\(=\frac{1}{8}\left(4t-1\right)\left(4t-5\right)+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{8}\)

Do đó \(P\ge\frac{3}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\t=\frac{1}{4}\\x=y\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

True?

Em không hiểu ctv giải dòng suy ra T ạ

๖ۣۜBFK_Quân Nguyễn~ đó là BĐT phụ nhé bạn:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow4xy\le\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( đúng )

Đó,mình chứng minh đó nhé !

Đáp án A

Đặt Từ giả thiết

Tìm GTNN của hàm số

Từ đk trên ta có:  \(2y^2+2zy+2z^2=2-3x^2\)

<=> \(3x^2+2y^2+2zy+2z^2=2\left(1\right)\)

<=>\(\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)

Do (x-y)²≥0; (x-z)²≥0 nên từ(*) suy ra (x+y+z)²≤2

Hay \(-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x-y =0 và x-z=0 hay x=y=z

Thay vào (1) ta được 9x²=2 ; x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)

Với x=y=z =x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)thì max=\(\sqrt{2}\), min =\(-\sqrt{2}\)

Do \(x^2+y^2=1\), đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=cosa\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(3-sina\right)\left(3-cosa\right)=9-3\left(sina+cosa\right)+sina.cosa\)

Đặt \(sina+cosa=t\Rightarrow t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(t^2=1+2sina.cosa\Rightarrow sina.cosa=\dfrac{t^2-1}{2}\)

\(P=9-3t+\dfrac{t^2-1}{2}=\dfrac{1}{2}t^2-3t+\dfrac{17}{2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{1}{2}t^2-3t+\dfrac{17}{2}\) trên \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(f'\left(t\right)=t-3=0\Rightarrow t=3\notin\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(-\sqrt{2}\right)=\dfrac{19+6\sqrt{2}}{2}\) ; \(f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{19-6\sqrt{2}}{2}\) 

\(\Rightarrow P_{min}=f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{19-6\sqrt{2}}{2}\) khi \(t=\sqrt{2}\)