Question

Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 1 < x < y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây  P = log x y - 1 2 + 8 log y x y x 2

A. 18

B. 9

C. 27

D. 30

Answer 1

Đáp án C

Đặt t = y x > 1 ⇒ y = t x ⇒ P = log x t x 2 - 1 2 + 8 log t t x x 2  

= log x t 2 + 1 2 + 8 log t t x - log t x 2 = 2 log x t 2 + 1 2 + 8 1 + log t x - 1 2 log t x 2  

Đặt u = log t x ⇒ P = 2 u + 1 2 + 8 1 + 1 2 u 2 = 4 u 2 + 4 u + 2 u 2 + 8 u + 9 = P u  

Do u = log x y x = log x y - 1 > 0  nên xét P u u > 0 ⇒ P ' u = 8 u + 4 - 4 u 3 - 8 u 2  

= 4 2 u + 1 u 3 - 1 u 3 = 0 → u > 0 u = 1 . Do đó ta tìm được P m i n = P 1 = 27 .