a: Xẻt ΔCAM vuông tại A và ΔCNM vuông tại N có

CM chung

góc ACM=góc NCM

=>ΔCAM=ΔCNM

b: Xét ΔMAK vuông tại A và ΔMNB vuông tại N có

MA=MN

góc AMK=góc NMB

=>ΔMAK=ΔMNB

=>MK=MB

a: Xét tứ giác ABNC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AN

Do đó: ABNC là hình bình hành

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên ABNC là hình chữ nhật

Suy ra: AB=NC và ΔCAN vuông tại C

b: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=1/2BC

a) Xét tam giác MAB và tam giác MCN có 
MB =MC ( M là tđ BC)

AM =AN (gt)

AMB = CMD ( 2 góc đối đỉnh ) 

=> 2 tam giác = nhau (c-g-c) 

=> AB =NC (2 cạnh tương ứng)

=> góc BAN = góc ANC (2 góc tương ứng)

mà 2 góc ở vị trí so le trong => AB // NC 

=> A + C = 180 ( 2 góc trong cùng phía bù nhau) 

=> 90 + c = 180 => góc C=90 

xét tam giác ACN có góc C =90 => tma giác ACN vuông tại C

b) Xét tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm BC => AM là trung tuyến => AM = BM = CM =1/2 BC(tc) 

c) ta xét tam giác BAN có : AM =MN => M là trung điểm của AN => BM là trung tuyến của AN 

mà BM = AM (cmt ) => BM=AM=MN=1/2AN 

=> tam giác ABN vuông tại B => AB vuông góc với BN 

mà MK vuông góc với BN (gt)=> AB // MK ( từ vuông góc -> //)

mà AB vuông góc AC => MK vuông góc với AC (từ vuông góc -> //)

ta lại có MI cũng vuông góc với AC (gt)

=> M,K,I thẳng hàng (tiên đề ơ clits)

a: Xét ΔCAM vuông tại A và ΔCNM vuông tại N có

CM chung

góc ACM=góc NCM

=>ΔCAM=ΔCNM

b: Xét ΔMAK vuông tại A và ΔMNB vuông tại N có

MA=MN

góc AMK=góc NMB

=>ΔMAK=ΔMNB

=>MK=MB

ko chứng minh đc bạn ak hình như đề sai thì phải

bạn tìm ở sách toán bồi dưỡng có thể có đấy

hình như sai đề

ê

1: Xét ΔCAM vuông tại M và ΔCBN vuông tại N có

CA=CB

\(\widehat{ACM}\) chung

Do đó: ΔCAM=ΔCBN

Suy ra: CM=CN; AM=BN

Xét ΔCNK vuông tại N và ΔCMK vuông tại M có 

CN=CM

CK chung

Do đó: ΔCNK=ΔCMK

Suy ra: \(\widehat{NCK}=\widehat{MCK}\)

hay CK là tia phân giác của góc ACB

2: Xét ΔCAB có CN/CA=CM/CB

nên MN//AB

3: AB=10cm

nên AD=DB=5cm

\(CD=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}\left(cm\right)\)

1) Xét \(\Delta CAM\) vuông tại M và \(\Delta CBN\) vuông tại N:

\(\widehat{C}chung.\)

\(AC=BC\) (\(\Delta ABC\) cân tại C).

\(\Rightarrow\) \(\Delta CAM=\) \(\Delta CBN\left(ch-gn\right).\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại C:

BN là đường cao \(\left(BN\perp AC\right).\)

AM là đường cao \(\left(AM\perp BC\right).\)

K là giao điểm của AM; BN (gt).

\(\Rightarrow\) K là trực tâm.

\(\Rightarrow\) CK là đường cao từ đỉnh C.

\(\Rightarrow\) CK là tia phân giác \(\widehat{ACB}\) (Tính chất tam giác cân).

2) \(\Delta CAM=\) \(\Delta CBN\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow CM=CN\) (2 cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow\) \(\Delta CNM\) cân tại C.

\(\Rightarrow\) \(\widehat{CNM}=\dfrac{180^o-\widehat{C}}{2}.\)

Mà \(\widehat{CAB}=\dfrac{180^o-\widehat{C}}{2}\) (\(\Delta ABC\) cân tại C).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{CNM}=\widehat{CAB}.\)

\(\Rightarrow MN//AB\left(dhnb\right).\)

3) Xét \(\Delta ABC\) cân tại C:

CD là đường cao (cmt).

\(\Rightarrow\) CD là đường trung tuyến (Tính chất tam giác cân).

\(\Rightarrow\) D là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow\) \(AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}10=5\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại D:

\(AC^2=CD^2+AD^2\left(Pytago\right).\\ \Rightarrow12^2=CD^2+5^2.\\ \Rightarrow CD^2=119.\\ \Rightarrow CD=\sqrt{119}\left(cm\right).\)