Cho hình thang cân ABCD có Ad//BC, độ dài đấy bé và đường cao đều bằng 2a, \(\widehat{ABC}=45^0\). Tính \(\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\right|\)..
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC \(\Rightarrow\Delta ABH\) vuông cân tại H (do \(\widehat{B}=45^0\))
\(\Rightarrow BH=AH=2a\Rightarrow HC=BH+AD=4a\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=2a\sqrt{5}\)
Vậy:
\(\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=AC=2a\sqrt{5}\)
1. Cho hình thang cân ABCD , đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a , \(\widehat{ABC}=45^0\) . Tính
a. \(\left|\overrightarrow{BD}\right|\)
b. \(\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\right|\)
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC=3a, đáy nhỏ AD=2a
a) Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
b) Gọi I là trung điểm CD. Tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}\). Suy ra góc giữa AI và BD
Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và \(\widehat {BAD} = {120^o}\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} .\)
Tham khảo:
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) do hai vectơ \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \) cùng hướng và \(CD = BA\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}\)
Xét tam giác ABC, ta có:
\(BA = BC\) và \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, hay \(CA = BC = 1\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.\)
Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \\ = \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}\)
Cho hình thoi ABCD cạnh a, \(\widehat{BCD}\)= 60o . O là giao điểm của AC và BD . Tính \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|,\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\right|\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:
a) \(\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;\)
b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} .\)
a) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD}\\ \Rightarrow |{\overrightarrow a}|= \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}\)
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
\(\Rightarrow |{\overrightarrow a}|= \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, độ dài vec tơ \(|2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{\left(OD\right)|}\)tính theo a là:
cho hình thang vuông abcd đường cao ab = a, đáy lớn bc = 2a, đáy nhỏ ad = a
tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\) từ đó suy ra giá trị của cos (\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\))
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{5}\)
\(BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=a\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}\)
\(=-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AD}.2\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}^2+2\overrightarrow{AD}^2\)
\(=-a^2+2a^2=a^2\)
\(cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{AC.BD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB=2a, cạnh đáy AD=a và BC=3a. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}\). Tìm k để \(\overrightarrow{BM}\perp\overrightarrow{CD}\)
Cho hình thang ABCD có \(\overrightarrow{2AB}=\overrightarrow{DC}\),AC=8,BD=6,góc tạo bởi 2 vecto \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BD}\) bằng 120.Tính độ dài các cạnh AD,BC
