TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc

Bài 1: 

Ta có: \(D=\sqrt{16x^4}-2x^2+1\)

\(=4x^2-2x^2+1\)

\(=2x^2+1\)

Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.

cảm ơn bạn

Anh tth trước chỉ em SOS kiểu này nè:)

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)

\(=x^4+y^4+x^4y^4+1\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=-\frac{5}{\sqrt{2}};y=-\frac{5}{2\sqrt{2}}\)

Chắc anh tth bày ko sai đâu !

\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)

\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)

\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)

\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)

\(\Rightarrow P\ge45\)

Dấu "=" xảy ra khi xy=2

Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)

\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)

Ta có \(\Delta=10-8=2\)

\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)

Bài 5: 

a: Thay \(x=4+2\sqrt{3}\) vào E, ta được:

\(E=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{\sqrt{3}+1-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-3-2\sqrt{3}\)

b: Để E<1 thì E-1<0

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)

hay x<9

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

c: Để E nguyên thì \(4⋮\sqrt{x}-3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-2;1;2;4\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{4;5;7\right\}\)

hay \(x\in\left\{16;25;49\right\}\)

Câu 2:
a) Ta có \(x=4-2\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=\sqrt{3}-2\)

Thay \(x=\sqrt{3}-1\) vào \(B\), ta được

\(B=\dfrac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+1}=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}\)

b) Để \(B\) âm thì \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\) mà \(\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\) \(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 2\Rightarrow x< 4\)

c) Ta có \(B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)

Với mọi \(x\ge0\) thì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\Rightarrow B=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow x=0\)

Vậy \(B_{min}=-2\) khi \(x=0\)

\(y=x-4\sqrt{x}-1.\)

\(y=x-2\cdot2\sqrt{x}+2-2-1\)

\(y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-2-1\)

\(y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-3\)

có \(\left(\sqrt{x}-2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2-3\ge-3\)

\(\Rightarrow GTNNy=-3\)

với \(\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0;x=4\)

\(y=x-4\sqrt{x}-1\)

\(y=\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\sqrt{x}.2+4-5\)

\(y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-5>5\)HOẶC=5

\(=>y_{min_{ }}=5< =>\sqrt{x}=2=>x=4\)

ý ý :)) tuoi là sai rồi :) làm theo bạn kia đi ạ :))) xin lỗi vì sự sai sót ngu ng' của mik

Áp dụng BĐT BSC và BĐT \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\):

\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\)

\(\Rightarrow A^2=\left(x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\right)^2\)

\(\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)\)

\(\le\left(x^2+y^2\right)\left[\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2\right]=\sqrt{2}+2\)

\(\Rightarrow-\sqrt{\sqrt{2}+2}\le A\le\sqrt{\sqrt{2}+2}\)

\(\Rightarrow minA=\sqrt{\sqrt{2}+2}\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Ta có: 

\(A=\sqrt{4\sqrt{x}-x}\) (ĐK: \(16\ge x\ge0\)) 

Mà: \(\sqrt{4\sqrt{x}-x}\ge0\forall x\) 

Dấu "=" xảy ra:

\(4\sqrt{x}-x=0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(4-\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\4-\sqrt{x}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=16\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(A_{min}=0\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=16\end{matrix}\right.\)

Bài này làm phức tạp nên để khi khác làm