Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC, biểu diễn \(\overrightarrow{MH}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}\) thì m = ...
Cho \(\Delta\)ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với B qua G, M là trung điểm của BC. Phân tích \(\overrightarrow{CI}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
I đối xứng B qua G \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Cho ΔABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G, M là trung điểm BC.
C/M 1) \(\overrightarrow{AH}\) = \(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
2) \(\overrightarrow{CH}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
3) \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)
H đối xứng B qua G \(\Rightarrow\overrightarrow{BH}=2\overrightarrow{BG}=2\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AH}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
cho tam giác ABC có G là trọng tâm H đối xứng với B qua G , M là trung điểm của BC , chứng minh :
\(\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)
Lời giải:
Ta luôn có \(B,G,M,H\) thẳng hàng.
Vì $H$ đối xứng với $B$ qua $G$ nên $BG=GH$; mà theo tính chất trọng tâm tam giác thì \(GM=\frac{1}{2}BG\) \(\Rightarrow GM=\frac{1}{2}GH\). Do đó $M$ là trung điểm của $GH$
\(\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\overrightarrow{GM}\) (1)
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\\ \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})\)
Mà \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=0\) do $M$ là trung điểm $AC$
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow {GB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)
Mà \(MG=\frac{1}{2}BG\) (cmt) do đó \(\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow {GM}=-4\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow 6\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{GM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) (2)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
cho tam giác ABC có trọng tâm là G và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây là sai
A. \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
B. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}\)
C. \(\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}\)
D.\(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GM}\)
giúp mk giải câu C , D thôi cx đc tại cô mk bảo phải cm từng câu cho nên m.n giúp mk vs
c) \(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BC}\ne\overrightarrow{GA}\)
d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GM}\ne\overrightarrow{GM}\)
Cho △ABC có trọng tâm G và 2 điểm M, N sao cho: AB = 3AM; CD = 2CN
a) Chứng minh: 3 điểm M, N, G thẳng hàng
b) Biểu diễn \(\overrightarrow{AC}\) qua 2 vecto \(\overrightarrow{AG}\) và \(\overrightarrow{AN}\)
c) Gọi k là giao điểm của AC và GN. Tính tỉ số \(\dfrac{KA}{KB}\)
cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gội H là điểm đối xứng của B qua G
a, chứng minh \(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
b, gọi M là trung điểm của BC. CHứng minh \(\overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)
Cho \(\Delta ABC\) điểm M thỏa mãn : \(\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{2MC}\)
a, G là trọng tâm tam giác ABC , H đối xứng với B qua G
CM: \(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{CH}=\frac{-1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
b. N là trung điểm của BC . CM \(\overrightarrow{NH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, gọi I là trung điểm BC. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: \(2\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{BM}\right|=3\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{AM}\right|\)
Gt ⇒ \(2\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
Do G là trọng tâm của ΔABC
⇒ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)
⇒ VT = 6MG
I là trung điểm của BC
⇒ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)
⇒ VP = 6MI
Khi VT = VP thì MG = MI
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn ycbt là đường trung trực của đoạn thẳng IG
1 . Cho \(\Delta ABC\) , G là trọng tâm , điểm B1 đối xứng với B qua G . Hãy biểu diễn các vecto sau theo AB và AC .
a. \(\overrightarrow{CB_1}\)
b. \(\overrightarrow{AB_1}\)
c. \(\overrightarrow{MB_1}\) với M là trung điểm của BC
a, Gọi N là trung điểm của AC
Ta có \(\overrightarrow{CB_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB_1}\)
\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BN}\) ( vì \(\left\{{}\begin{matrix}BB_1=2BG\\BG=\frac{2}{3}BN\end{matrix}\right.\) )
\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\frac{4}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\frac{-1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ÂC}\right)\)
b, \(\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}\) rồi tương tự câu a nha bạn
c, \(\overrightarrow{MB_1}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB_1}\)