b) Cho a, b là các số thực và \(o^o< a< 90^o\). CMR: \(-\sqrt{a^2+b^2}< a.cos_{\alpha}+b.sin_{\alpha}< \sqrt{a^2+b^2}\)
Cho a,b là các số thực và \(0^o< \alpha< 90^o\). CMR: \(-\sqrt{a^2+b^2}\le a.\sin\alpha\le\sqrt{a^2+b^2}\)
mình nghĩ nên sửa đề là \(-\sqrt{a^2+b^2}\le a\cos\alpha+b\sin\alpha\le\sqrt{a^2+b^2}\)
với a,b,x,y là số thực ta luôn có \(\left(ax+by\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ay-bx\right)^2\)
từ đẳng thức này ta suy ra \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
dấu "=" xảy ra khi \(\left(ax-by\right)^2=0\)
trở lại bài toán ta luôn có \(\left(a\cos\alpha+b\sin\alpha\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=a^2+b^2\)
từ đó ta có \(-\sqrt{a^2+b^2}\le a\cos\alpha+b\sin\alpha\le\sqrt{a^2+b^2}\)
1. Với \(\alpha\) là góc nhọn và \(\tan\alpha=\dfrac{1}{2}\). Không dùng máy tính hãy tính \(\cos\left(90^o-\alpha\right)\)
2.
a. \(\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\). Tính \(\tan\alpha\)
b. so sánh \(\tan28^o\) và \(\sin28^o\)
Câu 1:
Ta có: \(\cos\left(90^0-\alpha\right)=\sin\alpha\)
\(\Leftrightarrow\sin\alpha=1:\sqrt{\dfrac{1^2+2^2}{1}}=1:\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu 2:
a) \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\)
\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{3}\)
1. Tìm x, biết:
a. \(\tan x+\cot x=2\)
b. \(\sin x.\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
2.
a. Biết \(\tan\alpha=\frac{1}{3}\)Tính A=\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)
b. Biết \(\sin\alpha=\frac{2}{3}\)Tính B=\(3.\sin^2\alpha+4.\cos^2\alpha\)
c. Tính C=\(\sin^210^o+\sin^220^o+\sin^270^o+\sin^280^o\)
d. Tính D=\(\tan20^o.\tan35^o.\tan55^o.\tan70^o\)
e. Tính E=\(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3.\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\)
f. Tính F=\(3.\left(\sin^3\alpha+\cos^3\alpha\right)-2.\left(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\right)\)
g. Tính G=\(\sqrt{\sin^4\alpha+4.\cos^2\alpha}+\sqrt{\cos^4\alpha+4.\sin^2\alpha}\)
Mọi người giúp mình với. Mình cảm ơn ạ!
Tìm góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o})\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
b) \(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)
c) \(\tan \alpha = - 1\)
d) \(\cot \alpha = - \sqrt 3 \)
a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\sin \alpha \) ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(\alpha = {60^o}\) và \(\alpha = {120^o}\)
b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cos \alpha \) ta có:
\(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\) với \(\alpha = {135^o}\)
c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\tan \alpha \) ta có:
\(\tan \alpha = - 1\) với \(\alpha = {135^o}\)
d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cot \alpha \) ta có:
\(\cot \alpha = - \sqrt 3 \) với \(\alpha = {150^o}\)
Câu 1: Cho hai góc nhọn phụ nhau A và B. Hệ thức nào sau đây không đúng ?
A. Sin A = Cos(90o -B) B. Sin A = Cos B C. Tan A - cot B = 0 D. Tan A.tan B = 1
Câu 2: Cho \(\alpha+\beta=90^o\) , ta có:
A. \(\sin\alpha=\sin\beta\) B. \(\tan\alpha.\cot\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) C. \(\sin^2\alpha+\cos^2\beta=1\) D. \(\tan\alpha=\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}\)
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10cm, góc ACB =40o
a) Tính độ dài BC ?
b) Kẻ tia phân giác BD của góc ABC ( \(D\in AC\) ). Tính AD ?
Tính :
\(B=\frac{\sin^2\alpha.\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\cot\left(\frac{\alpha}{3}\right)}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha+\sqrt{2}\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\) với \(\tan\alpha=\frac{\sin^267^o23'.\cos25^o41'}{\sin45^o16'+\cos^267^o29'}\text{ và }0^o
1. Cho 4 số thực bất kì a,b,c,d. CM:
|ab+cd|<=\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)
Dấu đảng thức xảy ra khi nào?
2. Với giá trị nào cua góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+√3 cosα có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn nhất đó.
1. \(\left|ab+cd\right|\le\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2abcd+c^2d^2\le a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+c^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow ad-bc=0\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Thử cách em ở câu 1 xem nào;)
Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có:
\(VP=\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge\sqrt{\left(ab+cd\right)^2}=\left|ab+cd\right|=VT^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Cho \(tan\alpha=\sqrt{2}\) và biểu thức \(P=\dfrac{sin\alpha-cos\alpha}{sin^3\alpha+3cos^3\alpha+2sin\alpha}=\dfrac{a\left(\sqrt{b}-1\right)}{a+b^3\sqrt{b}}\). Tính tổng \(a+b\):
A. \(5\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(3\)
Cách 1:
Ta có: \(tan\alpha=\sqrt{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\sqrt{2}\\1+\left(\sqrt{2}\right)^2=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin\alpha=\sqrt{2}\cdot cos\alpha\\cos^2\alpha=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{sin\alpha-cos\alpha}{sin^3\alpha+3cos^3\alpha+2sin\alpha}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}\cdot cos\alpha-cos\alpha}{\left(\sqrt{2}\cdot cos\alpha\right)^3+3cos^3\alpha+2\cdot\sqrt{2}\cdot cos\alpha}\)
\(=\dfrac{cos\alpha\left(\sqrt{2}-1\right)}{2\sqrt{2}\cdot cos^3\alpha+3cos^3\alpha+2\sqrt{2}\cdot cos\alpha}\)
\(=\dfrac{cos\alpha\left(\sqrt{2}-1\right)}{cos\alpha\left(2\sqrt{2}\cdot cos^2\alpha+3cos^2\alpha+2\sqrt{2}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}\cdot cos^2\alpha+3cos^2\alpha+2\sqrt{2}}\)
Thay \(cos^2\alpha=\dfrac{1}{3}\) vào \(P\) ta có:
\(P=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{3}+2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{1+\dfrac{8}{3}\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{3\left(1+\dfrac{8}{3}\sqrt{2}\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{3+8\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{3+2^3\sqrt{2}}=\dfrac{a\left(\sqrt{b}-1\right)}{a+b^3\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b=5\)
Chọn đáp án A.
Cách 2:
\(P=\dfrac{sin\alpha-cos\alpha}{sin^3\alpha+3cos^3\alpha+2sin\alpha}=\dfrac{\left(sin\alpha-cos\alpha\right)\div cos^3\alpha}{\left(sin^3\alpha+3cos^3\alpha+2sin\alpha\right)\div cos^3\alpha}\)
\(=\dfrac{\dfrac{sin\alpha}{cos^3\alpha}-\dfrac{1}{cos^2\alpha}}{\dfrac{sin^3\alpha}{cos^3\alpha}+3+2\cdot\dfrac{sin\alpha}{cos^3\alpha}}=\dfrac{\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\dfrac{1}{cos^2\alpha}-\dfrac{1}{cos^2\alpha}}{tan^3\alpha+3+2\cdot\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\dfrac{1}{cos^2\alpha}}\)
\(=\dfrac{tan\alpha\cdot\left(1+tan^2\alpha\right)-\left(1+tan^2\alpha\right)}{tan^3\alpha+3+2tan\alpha\cdot\left(1+tan^2\alpha\right)}\)
Thay \(tan\alpha=\sqrt{2}\) vào ta có:
\(P=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\left[1+\left(\sqrt{2}\right)^2\right]-\left[1+\left(\sqrt{2}\right)^2\right]}{\left(\sqrt{2}\right)^3+3+2\sqrt{2}\cdot\left[1+\left(\sqrt{2}\right)^2\right]}=\dfrac{3\sqrt{2}-3}{2\sqrt{2}+3+6\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{3+8\sqrt{2}}=\dfrac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{3+2^3\sqrt{2}}=\dfrac{a\left(\sqrt{b}-1\right)}{a+b^3\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b=3+2=5\)
Chọn đáp án A
a) Cho $\cos \alpha=\dfrac{3}{4}$ với $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$. Tính $A=\dfrac{\tan \alpha+3 \cot \alpha}{\tan \alpha+\cot \alpha}$.
b) Cho $\tan \alpha=\sqrt{2}$. Tính $B=\dfrac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha+3 \cos ^{3} \alpha+2 \sin \alpha}$.