a.

Từ A kẻ \(AH\perp SB\) (1)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB:

\(AH=\dfrac{SA.AB}{SB}=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

Do \(AD||BC\Rightarrow AD||\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=d\left(D;\left(SBC\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(D;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

b.

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo \(\Rightarrow OA\perp OB\) (t/c hình vuông)

Từ A kẻ \(AK\perp SO\) (1)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BO\Rightarrow BO\perp\left(SAO\right)\)

\(\Rightarrow BO\perp AK\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\) \(\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SAO:

\(AK=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{2a}{3}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AC\cap\left(SBD\right)=O\\AO=CO\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)

a: (SC;(SAB))=(SC;SB)=góc BSC

\(AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt{5}\)

\(SB=\sqrt{a^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2}=2a\)

\(cosBSC=\dfrac{SB^2+SC^2-BC^2}{2\cdot SB\cdot SC}=\dfrac{4a^2+5a^2-a^2}{2\cdot2a\cdot a\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)

=>góc BSC=27 độ

b: (SO;(SAB))=(SO;SK)(OK vuông góc AB tại K)

Xét ΔABC có OK//BC

nên OK/BC=AK/AB=AO/AC=1/2

=>OK=a/2; AK=1/2a

\(SK=\sqrt{SA^2+AK^2}=\sqrt{3a^2+\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)

\(SO=\sqrt{SA^2+AO^2}=\sqrt{3a^2+\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\)

OK=a/2

\(cosOSK=\dfrac{SO^2+SK^2-OK^2}{2\cdot SO\cdot SK}=\dfrac{\dfrac{14}{4}a^2+\dfrac{13}{4}a^2-\dfrac{1}{4}a^2}{2\cdot\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}=\dfrac{\sqrt{182}}{14}\)

=>góc OSK=16 độ

c: (SA;SBD)=(SA;SO)(AO vuông góc BD) tại O

=góc ASO

\(SO=\sqrt{SA^2+AO^2}=\sqrt{3a^2+\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\)

SA=a căn 3

AO=a*căn 2/2

\(cosASO=\dfrac{SA^2+SO^2-AO^2}{2\cdot SA\cdot SO}=\dfrac{\sqrt{42}}{7}\)

=>góc ASO=22 độ

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp SA\subset\left(SAB\right)\\BC\perp AB\subset\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp SB\\BC\perp AB\\\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(\left(SBC\right),\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SBA}\)

\(\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3.a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=30^0\)

Từ A kẻ \(AE\perp SB\) (\(E\in SB\))

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AE\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}\) là góc giữa AC và (SBC)

Hệ thức lượng trong tam giác SAB:

\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AE=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{ACE}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

Chọn A.

Phương pháp: Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng: “ Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng (khác) tương ứng song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đó. Từ đó sử dụng lượng giác và định lý 

Pytago để tinh đường cao SA 

Cách giải:

Chọn A

Trong tam giác SOC, kẻ OK ⊥ OS(như hình vẽ).(1)

Dễ dàng chứng minh được 

Ta tính được 

Chọn B.