1.

\(3cos2x-7=2m\)

\(\Leftrightarrow cos2x=\dfrac{2m-7}{3}\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi:

\(-1\le\dfrac{2m-7}{3}\le1\)

\(\Leftrightarrow2\le m\le5\)

2.

\(2cos^2x-\sqrt{3}cosx=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(2cosx-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\cosx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Có 4 nghiệm \(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\) thuộc đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.2^xlogx-12logx-2^x+4=0\left(1\right)\\5^x=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) và \(5^x\ge m\) (\(x>0\))

Xét (1):

\(\Leftrightarrow3logx\left(2^x-4\right)-\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3logx-1\right)\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=\sqrt[3]{10}\end{matrix}\right.\)

\(y=5^x\) đồng biến trên R nên (2) có tối đa 1 nghiệm

 Để pt đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  ta có các TH sau:

TH1: (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m\le0\) (ko có số nguyên dương nào)

TH2: (2) có nghiệm (khác với 2 nghiệm của (1)), đồng thời giá trị của m khiến cho đúng 1 nghiệm của (1) nằm ngoài miền xác định

(2) có nghiệm \(\Rightarrow m>0\Rightarrow x_3=log_5m\)

Do \(\sqrt[3]{10}>2\) nên bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_3< x_2\)

\(\Rightarrow2< log_5m< \sqrt[3]{10}\)

\(\Rightarrow25< m< 5^{\sqrt[3]{10}}\) (hơn 32 chút xíu)

\(\Rightarrow\) \(32-26+1\) giá trị nguyên

\(\sqrt{2x^2-8x+m}=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-8x+m=\left(x-1\right)^2\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+m-1=0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(x^2-6x+m-1=0\left(1\right)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x\ge1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m=f\left(x\right)=-x^2+6x+1\)

Đồ thi hàm số \(y=f\left(x\right)=-x^2+6x+1\):

Dựa vào đồ thị ta được \(m=10\)

P/s: Cái này t lười vẽ bảng biến thiên nên vẽ đồ thị đó, chứ bình thường viết trong vở thì dùng bảng biến thiên nhanh hơn nhiều.

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

- Với \(x=0\) ko phải là nghiệm

- Với \(x>0\) chia 2 vế cho \(x\) ta được:

\(\dfrac{x^2+4}{x}+2-m=4\sqrt{\dfrac{x^2+4}{x}}\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{x^2+4}{x}}=t\ge2\)

\(\Rightarrow t^2-4t+2=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-4t+2\) với \(t\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(2\right)=-2\Rightarrow m\ge-2\)

Có \(2018-\left(-2\right)+1=2021\) giá trị nguyên của m

1.

ĐKXĐ: \(x=2\)

Xét \(x=2\), bất phương trình vô nghiệm

\(\Rightarrow\) bất phương trình đã cho vô nghiệm

\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(a,b\) thỏa mãn

Đề bài lỗi chăng.

Đáp án A

Ta có:  

log 0 , 5 m + 6 x + log 2 3 − 2 x − x 2 = 0 ⇔ − log 2 m + 6 x + log 2 3 − 2 x − x 2 = 0

⇔ log 2 m + 6 x = log 2 3 − 2 x − x 2 ⇔ 3 − 2 x − x 2 > 0 m + 6 x = 3 − 2 x − x 2 ⇔ 1 > x > − 3 m = − x 2 − 8 x + 3 = f x

Xét hàm số f x = − x 2 − 8 x + 3  trên khoảng − 3 ; 1  ta có: 

f ' x = − 2 x − 8 < 0 ∀ x ∈ − 3 ; 1

Lại có: f − 3 = 18 ; f 1 = − 6  

Suy ra PT có nghiệm khi m ∈ − 6 ; 18 ⇒  có 17 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm  x ∈ 0 ; 4  thì đường thẳng  y = 2 m  cắt đồ thị hàm số  y = x 2 - 2 x - 3  trên  0 ; 4  tại một điểm duy nhất.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên  0 ; 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc  0 ; 4 th

2 m = − 4 − 3 < 2 m ≤ 5 ⇔ m = − 2 − 3 2 < m ≤ 5 2

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là m ∈ − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2

Đáp án cần chọn là: A