Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi : 

\(\Delta'=m^2-\left(m^2+2m+3\right)=-2m-3>0\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)(*)

Hệ thức Viette : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m^2+2m+3\end{matrix}\right.\)

Có \(x_1^3+x_2^3=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow-8m^3+6m\left(m^2+2m+3\right)=108\)

\(\Leftrightarrow m^3-6m^2-9m+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-6\right).\left(m-3\right).\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (*) được m = -3 thỏa mãn

Phương trình x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ ' = ( m + 1 ) 2 – 2 m = m 2 + 1 > 0 ;  m nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 . x 2 = 2 m

Xét x 1 3 + x 2 3 = 8   ( x ₁ + x ₂ ) 3   −   3 x 1 . x 2 ( x 1 + x 2 ) = 8

⇔ [ 2 ( m   +   1 ) ] 3   –   3 . 2 m . [ 2 ( m   +   1 ) ]   =   8

  8   ( m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 ) – 6 m ( 2 m + 2 ) = 8 ⇔ 8 m 3 + 12 m 2 + 12 m = 0

⇔ m   ( 2 m 2   + 3 m + 3 ) = 0

⇔ m = 0 2 m 2 + 3 m + 3 = 0

Phương trình 2 m 2 + 3 m + 3 = 0   c ó   ∆ 1 = 3 2 – 4 . 2 . 3 = − 15 < 0 nên phương trình này vô nghiệm

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

\(\Delta'=1+m^2-1=m^2>0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm pb khi \(m\ne0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2+1\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2x_1-m^2+1=0\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1+x_1=0\)

\(\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1=-x_1\)

Thế vào bài toán:

\(\left(2x_1-x_2\right)\left(-x_1+2x_2\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow-2x_1^2-2x_2^2+5x_1x_2=-3\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x_1+x_2\right)^2+9x_1x_2=-3\)

\(\Leftrightarrow-8+9\left(-m^2+1\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Rightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)

Δ=(2m)^2-4(m^2+2m+3)

=4m^2-4m^2-8m-12=-8m-12

Để PT có 2 nghiệm pb thì -8m-12>0

=>-8m>12

=>m<-3/2

x1^3+x2^3=108

=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=108

=>(-2m)^3-3(m^2+2m+3)*(-2m)=108

=>-8m^3+6m(m^2+2m+3)=108

=>-8m^3+6m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^2(m-6)+18(m-6)=0

=>(m-6)(-2m^2+18)=0

=>m=-3

a) x² + 2x + m - 1 = 0 (1)

Với m = 2 ta có (1) trở thành

x² + 2x + 1 = 0

Có \(\Delta=2^2-4.1.1=0\) nên phương trình nghiệm kép 

\(x_1=x_2=-1\)

b) (1) 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta=2^2-4.\left(m-1\right)=8-4m>0\Leftrightarrow m< 2\)

Áp dụng hệ thức Viete cho (1) ta có 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4.\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2.\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right).\left(m-1\right)-6.\left(m-1\right)=4.\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\Leftrightarrow\left(m-2\right).\left(4m+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(\text{loại}\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = -1 thì thỏa mãn ycbt

Là sao em? Phải có yêu cầu cụ thể gì chứ?

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì:

$\Delta'=9-(6m-m^2)\geq 0\Leftrightarrow m^2-6m+9\geq 0$

$\Leftrightarrow (m-3)^2\geq 0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$.

Với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt. Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-6\\ x_1x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^3-(-6-x_1)^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+10x_1^2+60x_1+144=0\)

\(\Leftrightarrow (x_1+4)(x_1^2+6x_1+36)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=-4\) (dễ thấy \(x_1^2+6x_1+36>0\) )

\(\Leftrightarrow x_2=-6-x_1=-2\)

\(\Rightarrow 6m-m^2=x_1x_2=8\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+8=0\Leftrightarrow (m-4)(m-2)=0\)

\(\Leftrightarrow m=4; m=2\) (đều thỏa mãn)

Để PT có hai nghiệm  x 1 ; x 2  thì:  Δ = 25 − 12 m + 4 ≥ 0 ⇔ 29 − 12 m ≥ 0 ⇔ m ≤ 29 12

Ta có:  x 1 3 − x 2 3 + 3 x 1 x 2 = 75 ⇔ ( x 1 − x 2 ) [ ( x 1 + x 2 ) 2 − x 1 x 2 ] + 3 x 1 x 2 − 75 = 0     (*)

Theo định lý Vi-et ta có:  x 1 + x 2 = − 5 x 1 x 2 = 3 m − 1  thay vào (*) ta được

( x 1 − x 2 ) ( 26 − 3 m ) + 3 ( 3 m − 26 ) = 0 ⇔ ( x 1 − x 2 − 3 ) ( 26 − 3 m ) = 0 ⇔ m = 26 3                   x 1 − x 2 − 3 = 0

Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.

Kết hợp  x 1 − x 2 − 3 = 0  với hệ thức Vi - et ta có hệ:  x 1 − x 2 − 3 = 0 x 1 + x 2 = − 5 x 1 x 2 = 3 m − 1 ⇔ x 1 = − 1 x 2 = − 4 m = 5 3        ( t / m ) .

Vậy m = 5/3  là giá trị cần tìm.

Phương trình x 2 − mx – m − 1 = 0 có a = 1 ≠ 0 và  = m 2 – 4(m – 1)

= ( m – 2 ) 2   ≥ 0 ; m nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  

Xét

x 1 3   +   x 2 3   = − 1 ⇔ ( x ₁ + x ₂ ) 3 − 3 x 1 . x 2   ( x 1 + x 2 ) = − 1 ⇔ m 3 – 3 m ( - m – 1 ) = − 1

⇔ m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 = 0 ⇔ ( m + 1 ) 3 = 0   ⇔ m = − 1

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Đáp án: B

a: Khi x=3 thì pt sẽ là:

3^2-2*3+m+3=0

=>m-6+9+3=0

=>m+6=0

=>m=-6

x1+x2=2

=>x2=2-3=-1

b:

Δ=(-2)^2-4(m+3)

=4-4m-12

=-4m-8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

-4m-8>=0

=>m<=-2

x1^3+x2^3=8

=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=8

=>2^3-3*2(m+3)=8

=>6(m+3)=0

=>m+3=0

=>m=-3(nhận)