a) Xét (O) có 

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

BN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: OB là tia phân giác của \(\widehat{NOI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{BOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{NOI}\)

Xét (O) có 

AI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{IOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{AOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{IOM}\)

Ta có: \(\widehat{IOB}+\widehat{IOA}=\widehat{BOA}\)(tia OI nằm giữa hai tia OA và OB)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{ION}+\widehat{IOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0\)

hay \(\widehat{AOB}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{AOB}=90^0\)

a) Để chứng minh CM PQ = PN + NQ, ta sẽ sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông.

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến Mx và Ny. Ta có tam giác AMP và tam giác ANQ là tam giác vuông tại M và N.

Theo định lí Pitago, ta có:

AM^2 = AP^2 + PM^2

AN^2 = AQ^2 + NQ^2

Vì tam giác AMP và tam giác ANQ là tam giác vuông, nên ta có:

AP = AM - PM

AQ = AN - NQ

Thay vào các công thức trên, ta có:

AM^2 = (AM - PM)^2 + PM^2

AN^2 = (AN - NQ)^2 + NQ^2

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:

AM^2 = AM^2 - 2AM*PM + PM^2 + PM^2

AN^2 = AN^2 - 2AN*NQ + NQ^2 + NQ^2

Simplifying, we have:

2AM*PM = 2AN*NQ

Chia cả hai vế cho 2, ta có:

AM*PM = AN*NQ

Vì AM = AN (vì là đường kính của nửa đường tròn), nên ta có:

PM = NQ

Do đó, ta có:

PQ = PM + NQ

Vậy, CM PQ = PN + NQ đã được chứng minh.

b) Để chứng minh CM góc PIO = 90 độ, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tiếp tuyến chung.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có:

Góc PIO = Góc PIM + Góc MIO

Vì PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M, nên góc PIM = 90 độ.

Vì Mx và Ny là tiếp tuyến chung, nên góc MIO = góc NIO.

Vậy, góc PIO = 90 độ đã được chứng minh.

c) Để chứng minh CM MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc chóp đồng quy.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có:

Góc MON = Góc MOP + Góc NOP

Vì MN là tiếp tuyến của đường tròn tại M, nên góc MOP = 90 độ.

Vì Mx và Ny là tiếp tuyến chung, nên góc NOP = góc NMO.

Vậy, góc MON = 90 độ.

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ đã được chứng minh.

a, - Ta có : CA, MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O .

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp MO\\CO\perp CA\end{matrix}\right.\)

- Xét tứ giác ACOM có : \(\widehat{AMO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác ACOM nội tiếp đường tròn .

b, - Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác OBN vuông tại N có :

\(ON^2+NB^2=OB^2\)

- Thay số : \(R^2+BN^2=4R^2\)

=> \(BN=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}\left(cm\right)\)

- Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác OBN vuông tại N có :

\(TanOBN=\frac{ON}{BN}=\frac{R}{R\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

=> \(\widehat{OBN}=30^o\)

Mà 2 tiếp tuyến CB, BN cắt nhau tại B .

=> OB là phân giác của góc NBC .

=> \(\widehat{OBN}=\frac{1}{2}\widehat{NBC}\)

=> \(\widehat{NBC}=60^o\)

a: Xét tứ giác CAOM có góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

Tâm là trung điểm của OC

b: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

AC+BD=CM+MD=CD

a: Xét (O) có

PE,PM là tiếp tuyến

=>PE=PM và IP là phân giác của góc EIM(1)

Xét (O) có
QE,QN là tiếp tuyến

=>QE=QN và IQ là phân giác của góc EIN(2)

PQ=PE+EQ

=>PQ=PM+QN

b: Từ (1), (2) suy ra góc PIQ=1/2*180=90 độ

c: Gọi O là trung điểm của PQ

Xét hình thang MNQP có

O,I lần lượt là trung điểm của PQ,MN

=>OI là đường trung bình

=>OI vuông góc MN

=>MN là tiếp tuyến của (O)

a: góc CAO+góc CNO=90+90=180 độ

=>CAON nội tiếp đường tròn đường kính CO

Tâm là trung điểm của OC