Bài 15 : Giải các phương trình và hệ phương trình
a , \(3x^2+x-5=0\)
b , \(\sqrt{2x+4}=x-1\)
c , \(\left\{{}\begin{matrix}y^2-3xy=4\\x+\frac{y^2}{x}=4y+\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)
Bài 1: Giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+32y^2=9y^4+\frac{272}{9}\\x^2+y^2+xy+4=3x+4y\end{matrix}\right.\)
Bài 2: Giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy-3y^2+3x-y-1=0\\xy+y^2-x+3y=0\end{matrix}\right.\)
Bài 3: Giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+3xy-9y^2+23y-17=0\\x^2-2xy+3y^2-6y-3=0\end{matrix}\right.\)
Ai nhanh và đúng mình sẽ cho đúng và thêm bạn bè nhé. Thanks! Làm ơn giúp mình !!! PLEASE !!!
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỌN LỌC
Bài 1: Giải phương trình ẩn x sau :
a) \(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+\sqrt{\frac{5}{x+4}}=4\)
b) \(\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3\)
Bài 2: Giải hệ phương trình :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\\\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\\4x^2+5=y^2\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)
P/s: ai có lời giải đúng, đẹp tặng 1GP mỗi phần.
Bài 2:
a)Ta có: \({\left( {x + 2y} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \sqrt {\dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)Mặt khác ta cũng có:
\( \dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3} = \dfrac{{3{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)
Từ đó suy ra: \(\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}} + \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \left| {x + 2y} \right| \ge x + 2y \)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2y\ge0\)
Thay vào phương trình còn lại ta thu được:
\({x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right) \)
\(\boxed{Nguyễn Thành Trương}\)
Bài 1: a liên hợp là ra mà nhỉ?
a) ĐK: \(x>-3\)
Mặt khác \(PT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x+3}}-2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{x+3}-4}{\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2}+\frac{\frac{5}{x+4}-4}{\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}=0\) (quy đồng cái tử lên thôi)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{11}{4}\right)\left[\frac{-1}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-1}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}\right]=0\)
Cái ngoặc to nhìn liếc qua cũng thấy nó < 0.
Do đó \(x=-\frac{11}{4}\)
P/s: Về cơ bản hướng làm là vậy, khi là sẽ có thể có những sai sót, do em bị hư máy tính cầm tay:v. Đang rất GP đây này@@
\(\text{~tth~}\) |
2b)(ko chắc nha, nhưng cứ muốn làm:V)
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\left(1\right)\\4x^2+5=y^4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
ĐK:...
Đặt \(\sqrt{2x+1}=a>0;\sqrt{y}=b\ge0\)
(1) \(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\frac{a+1}{b+1}\Leftrightarrow a^3+a^2=b^3+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)=0\)
+)Xét cái ngoặc phía sau: \(a^2+ab+b^2+a+b\)
\(=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+a+b\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=-\frac{b}{2};b^2=0;a=0;b=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2};y=0\). (KTM vì mẫu phân số khác 0 và đk của a:v)
+)Với a = b thì \(\sqrt{2x+1}=\sqrt{y}\Rightarrow y=2x+1\)
Thay vào pt dưới: \(4x^2+5=\left(2x+1\right)^2\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=3\)
Vậy x = 1; y =3
Giải hệ phương trình :
1, \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{3}{y-2}=4\\\frac{4}{x}+\frac{1}{y-2}=1\end{matrix}\right.\)
2 , \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{2x-y}-\frac{1}{x+y}=0\\\frac{3}{2x-y}-\frac{6}{x+y}=-1\end{matrix}\right.\)
3, \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x+2y\right)=3x-1\\2x+4=3\left(x-2y\right)-15\end{matrix}\right.\)
4, \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=7\\-x+4y=10\end{matrix}\right.\)
1/ ĐKXĐ:...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{3}{y-2}=4\\\frac{12}{x}+\frac{3}{y-2}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{10}{x}=-1\Rightarrow x=-10\)
\(\frac{4}{-10}+\frac{1}{y-2}=1\Rightarrow\frac{1}{y-2}=\frac{7}{5}\Rightarrow y-2=\frac{5}{7}\Rightarrow y=\frac{19}{7}\)
2/ ĐKXĐ:...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2x-y}=a\\\frac{1}{x+y}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-b=0\\3a-6b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{9}\\b=\frac{2}{9}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2x-y}=\frac{1}{9}\\\frac{1}{x+y}=\frac{2}{9}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=9\\x+y=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
3/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x+10y=3x-1\\2x+4=3x-6y-15\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+10y=-1\\-x+6y=-19\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
4/ Bạn tự giải
Giải phương trình và hệ phương trình:
1) \(-2x^2+x+1-2\sqrt{x^2+x+1}=0\)
2) \(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^3x+x^2y^2=3y^4\\2x^2+y^4+1=2x\left(y^2+1\right)\end{matrix}\right.\)
1) \(-2x^2+x+1-2\sqrt[]{x^2+x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{x^2+x+1}=-2x^2+x+1\left(1\right)\)
Ta có :
\(2\sqrt[]{x^2+x+1}=2\sqrt[]{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\ge\sqrt[]{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x+\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-2x^2+x+1=\sqrt[]{3}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-x+\sqrt[]{3}-1=0\)
\(\Delta=1-8\left(\sqrt[]{3}-1\right)=9-8\sqrt[]{3}\)
\(pt\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt[]{9-8\sqrt[]{3}}}{4}\left(loại\right)\\x=\dfrac{1-\sqrt[]{9-8\sqrt[]{3}}}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(vì.x=-\dfrac{1}{2}\right)\)
Vậy phương trình cho vô nghiệm
giải hệ phương trình:
1, \(\left\{{}\begin{matrix}2y\left(4y^2+3x^2\right)=x^4\left(x^2+3\right)\\2012^x\left(\sqrt{2y-2x+5}-x+1\right)=4024\end{matrix}\right.\)
2, \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2y-15x=6y\left(2x-5-4y\right)\\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}\end{matrix}\right.\)
3, \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(x^2+y^2\right)+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\\2x+\frac{1}{x+y}=1\end{matrix}\right.\)
\(2,\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2y-15x=6y\left(2x-5-4y\right)\left(1\right)\\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2y-x\right)\left(x^2-12y-15\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2y=x\\y=\frac{x^2-15}{12}\end{matrix}\right.\)
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
\(y=\frac{x^2-15}{12}\) thay vào phương trình \(\left(2\right)\) ta được:
\(\frac{3x^2}{2\left(x^2-15\right)}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{4x^3}{x^2-15}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x^2-15}{24}\)
\(\Leftrightarrow\frac{36x^2}{x^2-15}-12\sqrt{\frac{x^2}{x^2-15}\left(x^2+16x-15\right)}+\left(x^2+16x-15\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\6\sqrt{\frac{x^2}{x^2-15}}=\sqrt{\left(x^2+16x-15\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\36\frac{x^2}{x^2-15}=x^2+16x-15\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\36x^2=\left(x^2-15\right)\left(x^2+16x-15\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Ta xét phương trình \(\left(3\right):36x^2=\left(x^2-15\right)\left(x^2+16x-15\right)\)
Vì: \(x=0\) Không phải là nghiệm. Ta chia cả hai vế p.trình cho \(x^2\) ta được:
\(36=\left(x-\frac{15}{x}\right)\left(x+16-\frac{15}{x}\right)\)
Đặt: \(x-\frac{15}{x}=t\Rightarrow t^2+16t-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-18\end{matrix}\right.\)
+ Nếu như:
\(t=2\Leftrightarrow x-\frac{15}{x}=2\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=5\)
+ Nếu như:
\(t=-18\Leftrightarrow x-\frac{15}{x}=-18\Leftrightarrow x^2+18x-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-9-4\sqrt{6}\\x=-9+4\sqrt{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-9-4\sqrt{6}\)
Trường hợp 2:
\(x=2y\) thay vào p.trình \(\left(2\right)\) ta được:
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4x}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{2x^3}{3x}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x}{4}\Leftrightarrow\frac{7}{6}x=\sqrt{\frac{11x^2}{12}}\Leftrightarrow x=0\left(ktmđk\right)\)
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left(x,y\right)=\left(5;\frac{5}{6}\right),\left(-9-4\sqrt{6};\frac{27+12\sqrt{6}}{2}\right)\)
Năm mới chắc bị lag @@ tớ sửa luôn đề câu 3 nhé :v
3, \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(x^2+y^2\right)+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\left(1\right)\\2xy+\frac{1}{x+y}=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow8\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow8\left(a^2-2b\right)+4b+\frac{5}{a^2}=13\)
\(\Leftrightarrow8a^2-12b+\frac{5}{a^2}=13\)
Ta cũng có \(\left(2\right)\Leftrightarrow2b+\frac{1}{a}=1\)
\(\Leftrightarrow2b=1-\frac{1}{a}\)
Thay vào (1) ta được :
\(8a^2+\frac{5}{a^2}-6\cdot\left(1-\frac{1}{a}\right)=13\)
\(\Leftrightarrow8a^2+\frac{5}{a^2}-6+\frac{6}{a}=13\)
\(\Leftrightarrow8a^2+\frac{5}{a^2}+\frac{6}{a}=19\)
Giải pt được \(a=1\)
Khi đó \(b=\frac{1-\frac{1}{1}}{2}=0\)
Ta có hệ :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy...
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(xy+1\right)=x\left(x+y\right)+2\\3xy-x+3=\sqrt{x+2y+1}+\sqrt{x+4y+4}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(xy+1\right)=x\left(x+y\right)+2\left(1\right)\\3xy-x+3=\sqrt{x+2y+1}+\sqrt{x+4y+4}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Đk: \(x+2y+1\ge0,x+4y+4\ge0\)
\(\left(1\right)\Rightarrow2xy+2=x^2+xy+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=y\end{matrix}\right.\)
*Khi \(x=0\), thay vào (2) ta được pt: \(\sqrt{2y+1}+\sqrt{4y+4}=3\)
Giải bằng phương pháp bình phương 2 vế ta được \(y=0\).
Thay \(x=y=0\) vào đk hoàn toàn thỏa mãn.
*Khi \(x=y\), thay vào (2) ta được pt: \(3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}\) .
Mình không giải được nhưng pt có nghiệm \(x=0\) nên suy ra \(y=0\)Vậy hệ pt ban đầu có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\).
Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
1. \(3x^2-7x+2=0\)
2. \(x^4-5x+4=0\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5}x-2y=7\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
1. 3x( x - 2 ) - ( x - 2 ) = 0
<=> ( x-2).(3x-1) = 0 => x = 2 hoặc x = \(\dfrac{1}{3}\)
2. x( x-1 ) ( x2 + x + 1 ) - 4( x - 1 )
<=> ( x - 1 ).( x (x^2 + x + 1 ) - 4 ) = 0
(phần này tui giải được x = 1 thôi còn bên kia giải ko ra nha )
3 \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5}x-2y=7\\\sqrt{5}x-5y=10\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(1. 3x^2 - 7x +2=0\)
=>\(Δ=(-7)^2 - 4.3.2\)
\(= 49-24 = 25\)
Vì 25>0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1\)=\(\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{25}}{2.3}=\dfrac{7+5}{6}=2\)
\(x_2\)=\(\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{25}}{2.3}=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac{1}{3}\)
giải hệ phương trình
\(a,\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\\y+\frac{y}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}\end{matrix}\right.\)
\(b,\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+1\right)=25\left(y+1\right)\\x^2+xy+2y^2+x-8y=9\end{matrix}\right.\)
\(c,\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3xy-2y^2-5\left(2x-y\right)=0\\x^2-2xy-3y^2+15=0\end{matrix}\right.\)