Question

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỌN LỌC

Bài 1: Giải phương trình ẩn x sau :

a) \(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+\sqrt{\frac{5}{x+4}}=4\)

b) \(\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3\)

Bài 2: Giải hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\\\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\\4x^2+5=y^2\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

P/s: ai có lời giải đúng, đẹp tặng 1GP mỗi phần.

Answer 1

Bài 2:

a)Ta có: \({\left( {x + 2y} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \sqrt {\dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)Mặt khác ta cũng có:

\( \dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3} = \dfrac{{3{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)

Từ đó suy ra: \(\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}} + \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \left| {x + 2y} \right| \ge x + 2y \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2y\ge0\)

Thay vào phương trình còn lại ta thu được:

\({x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right) \)

\(\boxed{Nguyễn Thành Trương}\)

Answer 2

Bài 1: a liên hợp là ra mà nhỉ?

a) ĐK: \(x>-3\)

Mặt khác \(PT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x+3}}-2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{x+3}-4}{\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2}+\frac{\frac{5}{x+4}-4}{\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}=0\) (quy đồng cái tử lên thôi)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{11}{4}\right)\left[\frac{-1}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-1}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}\right]=0\)

Cái ngoặc to nhìn liếc qua cũng thấy nó < 0.

Do đó \(x=-\frac{11}{4}\)

P/s: Về cơ bản hướng làm là vậy, khi là sẽ có thể có những sai sót, do em bị hư máy tính cầm tay:v. Đang rất GP đây này@@

\(\text{~tth~}\)

Answer 3

2b)(ko chắc nha, nhưng cứ muốn làm:V)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\left(1\right)\\4x^2+5=y^4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

ĐK:...

Đặt \(\sqrt{2x+1}=a>0;\sqrt{y}=b\ge0\)

(1) \(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\frac{a+1}{b+1}\Leftrightarrow a^3+a^2=b^3+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)=0\)

+)Xét cái ngoặc phía sau: \(a^2+ab+b^2+a+b\)

\(=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+a+b\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=-\frac{b}{2};b^2=0;a=0;b=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2};y=0\). (KTM vì mẫu phân số khác 0 và đk của a:v)

+)Với a = b thì \(\sqrt{2x+1}=\sqrt{y}\Rightarrow y=2x+1\)

Thay vào pt dưới: \(4x^2+5=\left(2x+1\right)^2\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=3\)

Vậy x = 1; y =3

Answer 4

2c)

HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2-3=0\\3z^2+3yz+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\). Cộng theo vế 2 pt trên:

\(x^2-xy+y^2+3z^2+3yz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}\right)+3\left(z^2+yz+\frac{y^2}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+3\left(z+\frac{y}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{y}{2};z=-\frac{y}{2}\Rightarrow x=-z\). Thay vào pt thứ 2 của hệ thu được:

\(3.\left(-\frac{y}{2}\right)^2+3y\left(-\frac{y}{2}\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow3=\frac{3}{4}y^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Với y = 2 suy ra \(x=1\Rightarrow z=-1\)

Với y = -2 suy ra \(x=-1\Rightarrow z=1\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;2;-1\right),\left(-1;-2;1\right)\right\}\)

True?

Answer 5

Em ko chắc đâu nhá!

Bài 1 b)

Sửa đề \(\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3\)

ĐK: \(-1\le x\le1\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(\sqrt[8]{1-x}=\sqrt[8]{1.1.1.1.1.1.1.\left(1-x\right)}\) (có 7 chữ số 1 ở phía trước)

\(\le\frac{8-x}{8}=1-\frac{x}{8}\)

\(\sqrt[8]{1+x}=\sqrt[8]{1.1.1.1.1.1.1.\left(1+x\right)}\le\frac{8+x}{8}=1+\frac{x}{8}\)

Lại có: \(\sqrt[8]{\left(1-x^2\right)}=\sqrt[8]{\left(1-x\right)\left(1+x\right).1.1.1.1.1.1}\) (có 6 số 1 phía sau)

\(\le\frac{8+x-x}{8}=1\). Cộng theo vế 3 BĐT trên thu được \(VT\le3\).

Đẳng thức xảy ra khi \(1-x=1;1+x=1;1-x^2=1\Rightarrow x=0\)

Vậy...

P/s: bài này Cô si xong nhìn cảm thấy khiếp:(

Answer 6

Bài 1:

a)ĐK:\(x>-3\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\sqrt{\frac{1}{x+3}}\le\frac{\frac{4x+13}{2\left(x+3\right)}}{4}=\frac{4x+13}{4\left(x+3\right)}\)

\(\sqrt{\frac{5}{x+4}}\le\frac{\frac{4x+14}{2\left(x+4\right)}}{2}=\frac{4x+14}{4\left(x+4\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{4x+13}{4\left(x+3\right)}+\frac{4x+14}{4\left(x+4\right)}\)\(=2+\frac{1}{4x+12}-\frac{1}{2x+8}\)

Ta cần c/m:\(\frac{1}{4x+12}-\frac{1}{2x+8}\le1\)

\(\Rightarrow\frac{2x+4}{\left(4x+12\right)\left(2x+8\right)}+1\ge0\)

Dễ thấy mẫu >0.

\(\Rightarrow2x+4+8\left(x+3\right)\left(x+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow8x^2+42x+52\ge0\)

\(x\in\)(\(-\infty;\frac{-13}{4}\)]\(\cup\)[-2;\(+\infty\))

So sánh với đk ta thấy tm.

Dấu = xra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3}=4\\\frac{5}{x+4}=4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=\frac{-11}{2}\)

Vậy ...

#Walker

Answer 7

:( Bây giờ mới xem thì hết phần rồi