a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2+6^2=10^2\)

=>\(AC^2=100-36=64\)

=>\(AC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác ADME có

AD//ME

AE//MD

Do đó: ADME là hình bình hành

Hình bình hành ADME có \(\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

c: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{1}{2}BC\)

Ta có: DE//BC

M\(\in\)BC

Do đó: DE//MB

Ta có: \(DE=\dfrac{1}{2}BC\)

\(MC=MB=\dfrac{1}{2}BC\)

Do đó: DE=MC=MB

Xét tứ giác BDEM có

DE//MB

DE=MB

Do đó: BDEM là hình bình hành

d: Xét tứ giác ABCK có

E là trung điểm chung của AC và BK

=>ABCK là hình bình hành

=>AK//BC

Xét tứ giác AMCI có

E là trung điểm chung của AC và MI

=>AMCI là hình bình hành

=>AI//CM

=>AI//BC

Ta có: AI//BC

AK//BC

AI,AK có điểm chung là A

Do đó: A,I,K thẳng hàng

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

b: Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6=2\cdot6=12\left(cm^2\right)\)

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

=>\(AD=DB=\dfrac{AB}{2}=2\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

=>\(AE=EC=\dfrac{AC}{2}=3\left(cm\right)\)

Diện tích hình chữ nhật ADME là:

\(S_{ADME}=AD\cdot AE=2\cdot3=6\left(cm^2\right)\)

c: Để hình chữ nhật ADME trở thành hình vuông thì AD=AE

mà AD=AB/2; AE=AC/2

nên AB=AC

a: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\left(cm^2\right)\)

b: Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

nên ADME là hình chữ nhật

c: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

=>ME//BD và ME=BD

=>MEDB là hình bình hành

=>MD cắtEB tại trung điểm của mỗi đường

=>B,K,E thẳng hàng

a) Xét tứ giác ADME có 

ME//AD(gt)

MD//AE(gt)

Do đó: ADME là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành ADME có \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,E\in AC,D\in AB\))

nên ADME là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ADME là hình chữ nhật(cmt)

nên ED=AM(Hai đường chéo trong hình chữ nhật ADME)

mà ED=5cm(gt)

nên AM=5cm

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

\(\Leftrightarrow BC=2\cdot AM=2\cdot5=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{4.8\cdot10}{2}=24\left(cm^2\right)\)

c) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

ME//AB(gt)

Do đó: E là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

MD//AC(gt)

Do đó: D là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC tại H)

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB(D là trung điểm của AB)

nên \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

nên HD=AD

Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC tại H)

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(E là trung điểm của AC)

nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AE=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

nên HE=AE

Xét ΔEAD và ΔEHD có 

EA=EH(cmt)

ED chung

AD=HD(cmt)

Do đó: ΔEAD=ΔEHD(c-c-c)

⇒\(\widehat{EAD}=\widehat{EHD}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AB, E∈AC)

nên \(\widehat{EHD}=90^0\)

hay HD⊥HE(đpcm)

Hình tự vẽ nhe fen :

a)

Tú giác ADME có:

MD // AB (gt)

ME // AC (gt)

góc A = 90 độ (gt)

=> tứ giác ADME là hình chữ nhật

b)

Vì Tứ giác ADME là hình chữ nhật => Góc MDA = Góc A = Góc MEA = góc EMD = 90 độ ( tính chất hình chữ nhật )

Tam giác ADM có:

Góc MDA = 90 độ 

=> Tam giác ADM vuông góc tại D

Áp dụng định lí pitago vào tam giác ADM ta có:

\(AM^2=AD^2+MD^2\Rightarrow MD=8\left(cm\right)\)

c)

Giả sử Tam giác ABC vuông cân:

=> theo bài ra ta có: ME//AC, MD//AB, góc A vuông => Tứ giác ADME là hình chữ nhật (1)

Xét Tam giác ABC có:

ME//AC (gt)

M là trung điểm của BC (gt)

=> ME là đường trung bình của tam giác ABC

=> ME=1/2 AC (tc đường trung bình)

Ta lại có:

tam giác ABC có:

MD//AB (gt)

M là trung điểm của BC (gt)

=> MD là đường trung bình của tam giác ABC 

=> MD=1/2AB

Mà Tam giác ABC vuông cân => AC=AB (tính chất tam giác cân)

=> MD=ME=1/2AB=1/2AC (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác ADME là Hình vuông

=> Để tứ giác ADME là hình vuông thì tam giác ABC phải là Tam giác Vuông cân tại A