Tích chéo bình phương chuyển vế

\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Ta có: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\left(\sqrt{a^2+1}\right)^2+1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)

Áp dụng bđt cô - si, ta có:

\(\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.\sqrt{a^2+1}}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Ta thấy : \(a^2\ge0\forall a\)

=> \(a^2+2\ge2\forall a\)

Mà \(\sqrt{a^2+1}>0\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) ( đpcm )

\(\begin{align} & \frac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\forall a\in \mathbb{R} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+1 \right)-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+1}-1 \right)}^{2}}\ge 0 \text{(luôn đúng)} \\ \end{align} \)

CÁCH KHÁC:

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

\(\dfrac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{{{a}^{2}}+1+1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\sqrt{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{{{a}^{2}}+1}.\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}}=2\left( dpcm \right)\)

a,Có \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) (a>1) (1)

<=> \(a+8\ge6\sqrt{a-1}\)

<=> \(a^2+16a+64\ge36a-36\)

<=> \(a^2-20a+100\ge0\)

<=> \(\left(a-10\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Dấu "="xảy ra <=> a=10

=> (1) đc CM

b, Áp dụng bđt cosi với hai số dương có

\(\sqrt{a^2+1}\le\frac{a^2+1+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{a^2+2}{\frac{a^2+2}{2}}=\frac{2\left(a^2+2\right)}{a^2+2}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=0

Đặt  \(P=a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta được:

\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\)

Áp dụng bất đẳng thức  Cô-si với bộ  \(\left(a+b\right)^2\) và  \(\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta có:

\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\ge2\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2}-2ab=2\left(1+ab\right)-2ab=2\)

moi hok lop 6

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2=\frac{a+b-1}{ab}+2\)

\(\frac{2\left(a+b-1\right)}{\left(a+b\right)^2-1}+2=\frac{2}{a+b+1}+2\ge\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+1}+2=\frac{2}{\sqrt{2}+1}+2=2\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Đặt \(a=\frac{x^2}{z},b=\frac{y^2}{z}\rightarrow x^4+y^4=z^2\) where x, y, z> 0

\(z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)-\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+y^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2\sqrt{2}+\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) *Đúng*

ta chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{2}+\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\)

ta thực hiện các phép biển đổi tương đương

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)

\(\Leftrightarrow a+b+2ab\ge2\sqrt{2}ab+1\)

\(\Leftrightarrow a+b+\left(a+b\right)^2-1\ge2\sqrt{2}\left(a+b\right)^2+1-\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{2}\right)t^2+t+\sqrt{2}-2\ge0,t=a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{2}\right)\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t-1\right)\ge0\)

từ điều kiện đề bài ta dễ dàng suy ra được 1<t\(\le\sqrt{2}\)nên bắt đẳng thức cuối cùng đúng

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)

\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)

Do đó ta có đpcm.

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)

\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)

Do đó ta có đpcm.

a) Với mọi số thực x ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)

Tương tự \(y^2+1\ge2y,z^2+1\ge2z\)

Cộng theo vế các bất phương trình trên ta có0:

 \(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

b) \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)

Vì x>y => x-y >0. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho x-y>0 và 2/(x-y) >0. Ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Bài 2: 

\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b

tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11

1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:

\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)

Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:

\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)