Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vua Phá Lưới

Biết a,b là hai số thực dương thỏa mãn:\(a^2+b^2=1\)Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)

Akai Haruma
30 tháng 3 2020 lúc 8:47

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)

\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)

Do đó ta có đpcm.

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 3 2020 lúc 21:53

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)

\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)

Do đó ta có đpcm.

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
Matsumi
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
tthnew
Xem chi tiết
Ngô Thị Yến Nhi
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết