Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Anh Thơ

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn cba + + ≥ 6 . Tìm GTNN của biểu thức:

A = \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a+c}}\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\)

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
7 tháng 5 2020 lúc 17:51

Xét \(\left(a^2+\frac{1}{b+c}\right)\left(4^2+1^2\right)\ge\left(4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}\right)^2\)

=> \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}\ge\frac{4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}}{\sqrt{17}}\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}\ge\frac{4b+\frac{1}{\sqrt{c+a}}}{\sqrt{17}}\\\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\ge\frac{4c+\frac{1}{\sqrt{a+b}}}{\sqrt{17}}\end{matrix}\right.\)

=> A \(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)+\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}}{\sqrt{17}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{a+b}}=\frac{4}{4.\sqrt{a+b}}\)

\(\sqrt{\left(a+b\right).4}\le\frac{a+b+4}{2}\) => \(4\sqrt{a+b}\le a+b+4\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}\ge\frac{4}{a+b+4}\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{b+c}}\ge\frac{4}{b+c+4}\\\frac{1}{\sqrt{c+a}}\ge\frac{4}{c+a+4}\end{matrix}\right.\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\) \(\ge4.\left(\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}+\frac{1}{a+b+4}\right)\)

\(\ge4.\frac{9}{2a+2b+2c+12}=\frac{3}{2}\)

=> \(A\ge\frac{4.6+\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}=\frac{3.\sqrt{17}}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
CCDT
Xem chi tiết
Ngô Thị Yến Nhi
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
phạm gia bảo
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết