Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Anh Thơ

Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. CMR

\(\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{3}{2}\)

Akai Haruma
12 tháng 6 2020 lúc 16:34

Lời giải:

Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:

$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3$. Do đó:

\(\text{VT}\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

(theo BĐT AM-GM)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Akai Haruma
13 tháng 6 2020 lúc 10:52

Giải theo pp UCT:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+3)(1+3)\geq (a+3)^2\Rightarrow \sqrt{a^2+3}\geq \frac{a+3}{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{2a}{a+3}$

Ta sẽ chứng minh:

$\frac{a}{a+3}\leq \frac{1}{4}+\frac{3}{16}(a-1)$

$\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a>0$)

Do đó: $\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}(a-1)$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3}}\leq \sum [\frac{1}{2}+\frac{3}{8}(a-1)]=\frac{3}{2}+\frac{3}{8}(a+b+c-3)=\frac{3}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
CCDT
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
phạm gia bảo
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Ngô Thị Yến Nhi
Xem chi tiết
Lê Thanh Hân
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết