Question

\(\lceil\) Chuyên đề \(\rfloor\): Bất đẳng thức hàng tuần. (Post 2)

1/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh:

\(a^2+b^2+c^2+3abc\ge6\)

2/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{3a+b^2}+\frac{b^2}{3b+c^2}+\frac{c^2}{3c+a^2}\ge\frac{3}{4}\)

3/ Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{27}\)

4/ Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\ge\sqrt{\frac{11\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+5}\)

5/ Cho a, b, c là số thực dương. Chứng minh:

\(\frac{a+b+c}{9\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{a^2}{4a^2+5bc}+\frac{b^2}{4b^2+5ca}+\frac{c^2}{4c^2+5ab}\)

Xem TOPIC (Post 1) tại:Câu hỏi của tth - Toán lớp 8 | Học trực tuyến (vẫn nhận bài đến hết thứ 7 tuần này, ngày 25/4.)

TOPIC này thời gian nộp bài tương tự như trước (1 tuần, đến hết thứ Năm tuần sau, ngày 30/4)

Riêng bài \(5\) mong mọi người tìm những cách hay chứ đừng như cách em, nhìn là hết muốn đọc rồi :))

Answer 1

Bài 1 : \(VT=a^2+b^2+c^2+3abc=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+3abc\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+9abc}{a+b+c}\)

\(=\frac{a^3+b^3+c^3+3abc+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+6abc}{a+b+c}\)

\(\ge\frac{2ab\left(a+b\right)+2bc\left(b+c\right)+2ca\left(c+a\right)+6abc}{a+b+c}\)

\(=\frac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=6\)

Có sai sót gì xin cmt bên dưới ạ

Answer 2

1: Áp dụng BĐT Schur ta có:

a³ + b³ + c³ + 6abc \(\ge\) a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca² + 3abc = (ab + bc + ca)(a + b + c) \(\ge\) 3 . 3 = 9

Lại có: abc \(\le\) 1
Do đó a³ + b³ + c³ + 3abc \(\ge\) 6

Answer 3

chấm để giữ slot trả lời đang cố gắng làm

Answer 4

Mình off mấy ngày giờ mới ngoi lên mà box Toán + Anh rộn ràng ghê á. Lúc nào bí câu hoi ib or hú chị nhé chủ tus, cả một trời bất mà lười post :D

_{P/s: Để suy nghĩ mấy câu trên xem.}

Answer 5

BĐT\(\Leftrightarrow27\left(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\right)+54abc\ge16\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+32\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+72abc\)

\(\Leftrightarrow11\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge5\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+18abc\)

\(\Leftrightarrow6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+5\left(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)\right)\ge18abc\)

\(\Leftrightarrow6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+5\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)\ge18abc\)

Với a,b,c dương ta có: \(6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge6.3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=18abc\)(1)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Với a,b,c bình đẳng giả sử \(a\ge b\ge c\)

Thì \(5\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)\ge0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra BĐT luôn đúng

Answer 6

Hóng các cao nhân

Answer 7

Bầu trời bất mà ta ko biết làm câu j thế này :_3

Cho a>b>c>0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)

CMR : \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)

Answer 8

Anh ơi bữa sau là bất đẳng thức tiếp hay là có phần khác (như bất phương trình, phương trình, cực trị,...)

Answer 9

Mình xin đưa ra lời giải

2/ Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:\(\text{VT}= \sum \frac{a^2 (\frac{7}{2}a +c)^2}{(\frac{7}{2}a +c)^2 \Big[(a+b+c)a+b^2\Big]} \geqq \frac{\Big[\sum a ( \frac{7}{2}a +c)\Big]^2}{\sum (\frac{7}{2}a +c)^2 \Big[(a+b+c)a+b^2\Big]}\geqq \frac{3}{4}\)

Bất đẳng thức cuối đúng, tương đối đơn giản.

3/ Giả sử $a=\max\{a,b,c\}$. Ta có:\(\text{LHS -RHS} = {\frac { \left( a-b \right) ^{2} \left( 8\,c+15\,a+31\,b \right) }{ 2592}}+{\frac { \left( -2\,c+a+b \right) ^{2} \left( c-a+b \right) }{ 144}}+{\frac { \left( -6\,c-a+7\,b \right) ^{2} \left( -2\,c+3\,a-b \right) }{2592}} \geqq 0 \)4/\(LHS^2-RHS^2=\frac{1}{4}\sum\frac{a\left(12ac+3b^2+4bc\right)\left(b-c\right)^2}{bc^2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{4}\sum\frac{a\left(2ac-b^2-bc\right)^2}{bc^2\left(ab+bc+ca\right)}\ge0\)

5/ Dùng Buffalo Way, giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u,b=c+v\)

Đơn giản thế mà ít người tham gia.