Chứng minh bất đẳng thức :\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

Cho ΔABC (AB < AC), phân giác AD. Trên AB lấy M, trên AC lấy N sao cho BM = CN. Gọi O là giao điểm của BM và CN. Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC và AB lần lượt tại E và F.Chứng minh: AB = CF và BE = CA.

Cho a, b, c là số ba số dương thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\left(\frac{x-2}{x-1}\right)^2-5\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^2+4\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}\right)=1\)

b) \(\left(\frac{x-1}{x}\right)^2+\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2=\frac{40}{9}\)

c) \(x.\frac{4-x}{x+2}.\left(\frac{8-2x}{x+2}\right)=3\)

d) \(\frac{1}{3x-2020}+\frac{1}{4x-2018}+\frac{1}{5x-2017}=\frac{1}{12x-2019}\)

Cho △ ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

a)Tính tổng \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{AE}+\frac{HF}{CF}\)

b) Chứng minh BH.BE+CH.CF=BC²

c)Chứng minh :H cách đều 3 cạnh tam giác DEF,

d) Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM=CN.Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.