a) \(AH^2=BH.CH=3,6.6,4=23,04\)

\(\Rightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)

\(AC^2=AH^2+HC^2=23,04+40,96=64\)

\(\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

\(AB^2=AH^2+BH^2=23,04+12,96=36\)

\(\Rightarrow AB=6\left(cm\right)\)

\(BC=BH+CH=3,6+6,4=10\left(cm\right)\)

\(tanB=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow B=53^o\)

\(\Rightarrow C=90^o-53^o=37^o\)

b) Xét Δ vuông ABH, có đường cao DH ta có :

\(AH^2=AD.AB\left(1\right)\)

Tương tự  Δ vuông ACH :

\(AH^2=AE.AC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với:

+) Tam giác $AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$:

$AD.AB=AH^2(1)$

+) Tam giác $AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HK$:

$AK.AC=AH^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AD.AB=AK.AC$

b) Dễ thấy $ADHK$ là hình chữ nhật do $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{K}=90^0$

$\Rightarrow AH=DK$

$\Rightarrow 2DK^2=2AH^2(3)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AD.AB+AK.AC=2AH^2(4)$

Từ $(3);(4)\Rightarrow AD.AB+AK.AC=2DK^2$ (đpcm)

Hình vẽ:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HK là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AK\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AK\cdot AC\)

b) Xét tứ giác AKHD có 

\(\widehat{KAD}=90^0\)

\(\widehat{AKH}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: AKHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: AH=KD(Hai đường chéo)

Ta có: \(AD\cdot AB+AK\cdot AC\)

\(=AH^2+AH^2\)

\(=2AH^2=2\cdot DK^2\)(đpcm)

Hình tự vẽ

a) \(\Delta\)ABH vuông tại H có đường cao HD

=> AD.AB = AH² (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

\(\Delta\)AHC vuông tại H có đường cao HE

=> AE.AC = AH² (Hệ thức lượng rong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) => AD.AB = AE.AC (=AH²)

b) \(\Delta\)AHB vuông tại H có đường cao HD

=> \(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{BH^2}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)

\(\Delta\)AHC vuông tại H có đường cao HE

=> \(\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) => \(\dfrac{1}{HD^2}+\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}+\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HB^2}=\dfrac{2}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}+\dfrac{1}{HB^2}\)

c) Kẻ đường cao CM

Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)CBM có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CMB}\left(=90^o\right)\)

Chung \(\widehat{ABC}\)

=> \(\Delta\)ABH ~ \(\Delta\)CBM (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{BC}{CM}\)

=> AH.CM = BC.AD (*)

Vì AD.AB = AE.AC (cmt)

=> \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)ACB có:

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Chung \(\widehat{BAC}\)

=> \(\Delta\)ADE ~ \(\Delta\)ACB (c.g.c)

=> \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}\)

=> DE.AC = BC.AD (**)

Từ (*) và (**) => AH.CM = DE.AC

=> \(DE=AH.\dfrac{CM}{AC}\)(I)

\(\Delta\)ACM vuông tại M => \(\sin A=\dfrac{CM}{AC}\) (II)

Từ (I) và (II) => DE = AH.sin A

Khôi Bùi DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNGMysterious PersonPhạm Hoàng GiangPhùng Khánh LinhArakawa WhiteDũng NguyễnrJakiNatsumiTRẦN MINH HOÀNGtran nguyen bao quan

Có AD vuông góc AE (tam giác ABC vuông tại A)

     AD vuông góc DH (D là hình chiếu của H)

Suy ra; AE song song DC (dhnb)

Suy ra góc DHA = HAE (2 góc slt)

Xét tam giác adh vuông tại D và tâm giác HEA vuông tại E có:

               AH chung

              góc DHA = góc HAE (cmt)

suy ra tam giác ADH = tam giác HEA (ch-gn)

suy ra DH = EA (2 cạnh tương ứng)

           AD = HE (2 cạnh tương ứng)

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)