Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với:
+) Tam giác $AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$:
$AD.AB=AH^2(1)$
+) Tam giác $AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HK$:
$AK.AC=AH^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AD.AB=AK.AC$
b) Dễ thấy $ADHK$ là hình chữ nhật do $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{K}=90^0$
$\Rightarrow AH=DK$
$\Rightarrow 2DK^2=2AH^2(3)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AD.AB+AK.AC=2AH^2(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow AD.AB+AK.AC=2DK^2$ (đpcm)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HK là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AK\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AK\cdot AC\)
b) Xét tứ giác AKHD có
\(\widehat{KAD}=90^0\)
\(\widehat{AKH}=90^0\)
\(\widehat{ADH}=90^0\)
Do đó: AKHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=KD(Hai đường chéo)
Ta có: \(AD\cdot AB+AK\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2\)
\(=2AH^2=2\cdot DK^2\)(đpcm)
