Question

cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

CMR:

a) AD.AB=AE.AC

b) \(\dfrac{1}{DH^2}+\dfrac{1}{EH^2}=\dfrac{2}{AH^2}+\dfrac{1}{BH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)

c) DE=AH.sinA

Answer 1

Hình tự vẽ

a) \(\Delta\)ABH vuông tại H có đường cao HD

=> AD.AB = AH² (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

\(\Delta\)AHC vuông tại H có đường cao HE

=> AE.AC = AH² (Hệ thức lượng rong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) => AD.AB = AE.AC (=AH²)

b) \(\Delta\)AHB vuông tại H có đường cao HD

=> \(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{BH^2}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)

\(\Delta\)AHC vuông tại H có đường cao HE

=> \(\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) => \(\dfrac{1}{HD^2}+\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}+\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HB^2}=\dfrac{2}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}+\dfrac{1}{HB^2}\)

c) Kẻ đường cao CM

Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)CBM có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CMB}\left(=90^o\right)\)

Chung \(\widehat{ABC}\)

=> \(\Delta\)ABH ~ \(\Delta\)CBM (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{BC}{CM}\)

=> AH.CM = BC.AD (*)

Vì AD.AB = AE.AC (cmt)

=> \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)ACB có:

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Chung \(\widehat{BAC}\)

=> \(\Delta\)ADE ~ \(\Delta\)ACB (c.g.c)

=> \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}\)

=> DE.AC = BC.AD (**)

Từ (*) và (**) => AH.CM = DE.AC

=> \(DE=AH.\dfrac{CM}{AC}\)(I)

\(\Delta\)ACM vuông tại M => \(\sin A=\dfrac{CM}{AC}\) (II)

Từ (I) và (II) => DE = AH.sin A

Answer 2

Khôi Bùi DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNGMysterious PersonPhạm Hoàng GiangPhùng Khánh LinhArakawa WhiteDũng NguyễnrJakiNatsumiTRẦN MINH HOÀNGtran nguyen bao quan