Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Trần Quốc Đạt
Xem chi tiết
Thắng Nguyễn
14 tháng 1 2017 lúc 18:05

 \(BDT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2+2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Từ đây ta thấy trong 3 số a,b,c sẽ có 2 số hoặc cùng \(\ge1\) hoặc cùng \(\le1\).giả sử 2 số đó là a và b suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Vậy BĐT đầu luôn đúng

alibaba nguyễn
14 tháng 1 2017 lúc 18:46

Thích Dirichlet thì chơi Dirichlet

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số (a - 1); (b - 1); (c - 1) luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là (a - 1) và (b - 1).

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh 

\(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

 \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

 Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

tth_new
24 tháng 11 2019 lúc 13:15

Em có cách biến đổi tương đương nhưng không đẹp lắm:(

W.L.O.G: \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

\(VT-VP=\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)\ge0\)

Ta có đpcm.

Khách vãng lai đã xóa
Hồ Thị Hồng Nghi
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
7 tháng 12 2021 lúc 7:47

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)

Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)

Phan Hà Thanh
Xem chi tiết
Luân Đào
23 tháng 7 2019 lúc 11:25

a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)

b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

\(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)

c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Tương tự câu b ta có a = b = c

Phàn Tử Hắc
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
30 tháng 9 2018 lúc 9:29

Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )

Dấu \("="\) hiển nhiên xảy ra khi \(a=b=c\)

Nguyễn Hồng Pha
Xem chi tiết
Akai Haruma
23 tháng 3 2017 lúc 2:35

Lời giải:

BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)

Đặt \(a^2+ab+ac=t\)

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)

Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm

Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\)\(bc=0\)

Lellllllll
Xem chi tiết
T.Ps
22 tháng 7 2019 lúc 16:27

#)Giải :

a) Để C/m a và b là hai số đối nhau => a + b = 0

Ta có : \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0a\Leftrightarrow a+b=0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
ミ★ɦυүềη☆bùї★彡
Xem chi tiết
Đen đủi mất cái nik
9 tháng 9 2018 lúc 21:26

TA CÓ:

\(a^4b^2+b^4c^2\ge2a^2b^3c,b^4c^2+c^4a^2\ge2b^2c^3a,c^4a^2+a^4b^2\ge2c^2a^3b\)

\(\Rightarrow a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+\frac{5}{9}\ge a^2b^3c+b^2c^3a+c^2a^3b+\frac{5}{9}\)

ĐẶT \(ab=x,bc=y,ca=z\Rightarrow x+y+z=1\)

\(\Rightarrow a^2b^3c+b^2c^3a+c^2a^3b+\frac{5}{9}=x^2y+y^2z+z^2x+\frac{5}{9}\)

TA CẦN C/M:

\(x^2y+y^2z+z^2x+\frac{5}{9}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)        \(\left(=2abc\left(a+b+c\right)\right)\)

ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:

\(\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\) DO:\(\left(x+y+z=1\right)\)

VẬY CẦN C/M:

\(\left(xy+yz+zx\right)^2+\frac{5}{9}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

XÉT HIỆU:

\(\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)+1-\frac{4}{9}=\left(xy+yz+zx-1\right)^2-\frac{2^2}{3^2}\)

\(=\left(xy+yz+zx-\frac{1}{3}\right)\left(xy+yz+zx-\frac{5}{3}\right)\)

VÌ:

\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow xy+yz+zx-\frac{1}{3}\le0\)

\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx-\frac{1}{3}\right)\left(xy+yz+zx-\frac{5}{3}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow DPCM\)

Bài này mình có hỏi trên mạng ấy bạn bài này nhiều cách lắm tại mình thấy cách này dễ hiểu nên gửi cho b

Không Tên
26 tháng 2 2020 lúc 16:13

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Ta viết BĐT lại thành:\(\frac{5}{9}\left(ab+bc+ca\right)^3+a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(VT-VP=(a-b)^2(a^2c^2+\frac{17}{9}abc^2+b^2c^2+\frac{5}{9}ac^3+\frac{5}{9}bc^3)+(a-c)(b-c)(a^3b+\frac{5}{9}a^2b^2+a^3c+\frac{11}{9}a^2bc+\frac{2}{9}ab^2c+a^2c^2)\ge0\)

Khách vãng lai đã xóa
Minh Anh
Xem chi tiết
Ngô Duy Anh
1 tháng 11 2016 lúc 20:05

mày điên à, làm gì có câu hỏi kiểu này?

hakaioh
1 tháng 11 2016 lúc 20:11

mày bị điên rồi hả câu hỏi thế này làm gì có người giải được

Đinh Minh Quang
1 tháng 11 2016 lúc 21:26

mày hỏi cô giáo ấy