Với n = 1 đó là một kết quả rất quen thuộc:)) thôi em vào bài luôn, ko thì bị nhiều bạn bảo "nói linh tinh":v Em thử, ko chắc đâu nha, a thử check xem.
Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 trong 3 số a - n; b - n; c - n đồng dấu. Giả sử 2 số đó là a -n và b - n.
Thế thì \(\left(a-n\right)\left(b-n\right)\ge0\Rightarrow2abc\ge2acn+2bcn-2cn^2\)
Suy ra \(LHS\ge n\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2acn+2bcn-2cn^2\right)+n^3\)
\(=n\left(a^2+b^2\right)+nc^2+n^3-2cn^2+2n\left(ac+bc\right)\)
\(\ge2n\left(ab+bc+ca\right)+nc^2+n^3-2cn^2\)
\(=2n\left(ab+bc+ca\right)+n\left(c^2+n^2-2cn\right)\)
\(=2n\left(ab+bc+ca\right)+n\left(c-n\right)^2\ge2n\left(ab+bc+ca\right)=RHS\)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=n\)
Another way!
Đặt \(A=\frac{\left(na+bc-nb-nc\right)^2}{n}+n\left(c-n\right)^2\)
\(B=n\left(a+b-c\right)^2+n^3\)
Sử dụng 2 đẳng thức:
\(f\left(a;b;c\right)=VT-VP\)
\(=A-\frac{\left(c-2n\right).c\left(b-n\right)^2}{n}\)
\(=B+2ab\left(c-2n\right)\)
Từ ta có thế viết SOS cho đa thức trên!
\(f\left(a;b;c\right)=\frac{2ab.A+\frac{c\left(b-n\right)^2}{n}.B}{2ab+\frac{c\left(b-n\right)^2}{n}}\ge0\) (anh tự thay A, B vào nha:P Em viết vầy cho gọn:D)
À em quên chút nha!
Ở cách 2:
Với n = 0 ta cần chứng minh \(2abc\ge0\) (hiển nhiên đúng)
Với n > 0 thì làm như trên.
