cho \(\Delta ABC\)AH là đường cao c/m
a)\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB}{HC}\)
b)kẻ HM \(\perp\)AB tại M ,HN\(\perp\)AC tai N c/m AM.AB=BN.AC
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A,đường cao AH. Kẻ HM\(\perp\)AB(M\(\in\)AB); HN\(\perp\)AC(N\(\in\)AC).Chứng minh rằng :
a) AM.AB=AN=AC
b)HB.HC=MA.MB+NA.NC
c)\((\frac{AB}{AC})^2\)=\(\frac{HB}{HC}\)
a) Ta có tứ giác MHNA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAN}\) )
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\\widehat{MAN}chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, \(MH\perp AB\) có:
\(MH^2=MA.MB\left(1\right)\)
cmtt: \(NH^2=NA.NC\left(2\right)\)
Ta lại có: \(HB.HC=AH^2=MN^2\)( 2 đường chéo bằng nhau) (3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H có
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\left(4\right)\)
Từ (1),(2),(3) và (4) \(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\left(đpcm\right)\)
c) Có \(HB=\frac{AC^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Kẻ \(HM\perp AB\) , \(HN\perp AC\) . CMR:
a ) \(AM.AB=AN.AC\)
b ) \(\frac{HB}{HC}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
c. \(HB.HC=MA.MB+NA.NC\)
a/ Có tứ giác MHNA là hcn\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) (góc nt cùng chắn \(\stackrel\frown{AN}\))
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ vs \(\widehat{HAN}\))
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(CMT\right)\)
\(\widehat{MAN}\) : góc chung
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Leftrightarrow AM.AB=AN.AC\)
b/ Có \(HB=\frac{AB^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\frac{\frac{AB^2}{BC}}{\frac{AC^2}{BC}}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
c/ Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H,\(MH\perp AB\)
\(\Rightarrow MA.MB=MH^2\)(1)
tương tự\(\Rightarrow NA.NC=HN^2\) (2)
\(HB.HC=AH^2=MN^2\) (2 đường chéo bằng nhau)(3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\)(4)
Từ (1),(2),(3),(4)\(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\)
Cho ΔABC cân tại A. Kẻ AH ⊥ BC ( H∈ BC)
a) Chứng mnh HB = HC
b) Kẻ HM⊥AB(M∈AB), HN⊥AC(N∈AC). Chứng minh ΔAMH = ΔANH
c) Tính diện tích ΔABC biết AB = 10cm, AH = 8cm
d) So sánh ABC và AMN, từ đó chứng minh MN song song với BC
a) Xét △ABC,ta có :△ABC cân tại A nên
AB=AC, ∠ABC = ∠ACB( t/c tam giác cân)
Vì AH⊥BC nên ∠AHB = ∠AHC
# Xét △AHB vs △AHC, ta có :
∠AHB=∠AHC(=90o)
AB=AC
∠ABC = ∠ACB
⇒△AHB = △AHC(ch-gn)
⇒HB=HC( 2 cạnh tương ứng )
b)Vì △AHB = △AHC(cmt) nên ∠HAB = ∠HAC(2 góc tương ứng)
Vì HM ⊥ AB nên ∠HMA =90o
Vì HN ⊥ AC nên ∠HMB =90o
#Xét △AHM vs △AHN, ta có:
∠AHM =∠AHN(=90o)
AH là cạnh chung
∠MAH=∠NAH(cmt)
⇒△AHM = △AHN (ch-gn)
c) Lúc nữa.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AH\perp BC\), \(HM\perp AB,HN\perp AC,H\in BC,M\in AB,N\in AC.\) Chứng minh:
a) AM.AB = AN.AC
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
c) \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
d) \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)
Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)
\(\Rightarrow MH=AN\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(HN^2=AN\cdot NC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(HM^2=AM\cdot MB\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:
\(AN^2+HN^2=AH^2\)
Mà \(MH=AN\)
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)
\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
Cho ΔABC cân tại A ( Â < 90o ) Vẽ AH ⊥ BC tại H.
a) Chứng minh ΔAHC = Δ AHB
b) Kẻ HM ⊥ AC tại M. Trên tia đối của tia HM lấy N sao cho HM = HN. C/m BN//AC
c) Kẻ HQ ⊥ AB tại Q. C/m BC là đường trung trực của NQ
a: Xét ΔAHC vuôg tại H và ΔAHB vuông tại H có
AB=AC
AH chung
DO đo: ΔAHC=ΔAHB
b: Xét tứ giác BMCN có
H là trung điểm của BC
H là trung điểm của MN
DO đó: BMCN là hình bình hành
Suy ra: BN//AC
c: Xét ΔAQH vuông tạiQ và ΔAMH vuông tại M có
AH chung
\(\widehat{QAH}=\widehat{MAH}\)
Do đó: ΔAQH=ΔAMH
Suy ra: HQ=HM
=>HQ=1/2MN
=>ΔMQN vuông tại Q
Xét ΔBQH vuông tạiQ và ΔBNH vuông tại N có
BH chung
HQ=HN
Do đó; ΔBQH=ΔBNH
Suy ra: BQ=BN
=>BH là đường trung trực của QN
\(\Delta ABC\), góc A= \(^{90^0}\), AH\(\perp\)BC
a) AB=12cm, BC=20cm. Tính AC, AH, góc B
b)Kẻ HM\(\perp\)AB, HN\(\perp\)AC. CMR: AN.AC=\(AC^2-HC^2\)
c)CM: AH=MN và AM.MB+AN.NC=\(AH^2\)
b: Xét ΔAHC vuông tại H có
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)
Cho ΔABC cân tại A (∠A<90 độ). Vẽ AH ⊥ BC tại H.
a. Chứng minh ΔAHB=ΔAHB.
b. Kẻ HM ⊥ AC tại M. Trên tia đối tia HM lấy điểm N sao cho HM=HN. Chứng minh BN // AC.
c. Kẻ HQ ⊥ AB tại Q. Chứng minh BC là đường trung trực của NQ.
b) Vì ΔAHC = ΔAHB ( câu a )
=> BH = HC ( Hai cạnh tương ứng )
Xét ΔBHN và ΔCHM, ta có:
BH = HC ( cmt )
Góc BHN = Góc CHM ( Hai góc đối đỉnh )
HN = HM ( gt )
=> ΔBHN = ΔCHM ( c-g-c )
=> Góc HMC = Góc BNH ( Hai góc tương ứng )
Mà góc HMC và góc BNH là hai góc so le trong
=> BN // AC
c)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Vẽ \(AH\perp BC\) tại H.
a) C/m \(\Delta AHC=\Delta AHB\)
b) Kẻ \(HM\perp AC\) tại M. Trên tia đối tia HM lấy N sao cho HN=HM. C/m BN//AC
c) Kẻ \(HQ\perp AB\) tại Q. C/m BC là đường trung trực của NQ
a) Vì tam giác ABC cân tại A
=> AB = AC và Góc ABC = Góc ACB
Xét tam giác AHC và tam giác AHB, ta có:
Góc AHB = AHC ( = 90 độ )
AB = AC (cmt)
Góc ABC = Góc ACB ( cmt)
=> Tam giác AHC = Tam giác AHB ( ch-gn )
b) Vì tam giác AHC = Tam giác AHB ( câu a )
=> BH = HC ( Hai cạnh tương ứng )
Xét tam giác BHN và tam giác CHM, ta có:
BH = HC ( cmt )
Góc BHN = Góc CHM ( Hai góc đối đỉnh )
HN = HM ( gt )
=> Tam giác BHN = Tam giác CHM ( c-g-c )
=> Góc HMC = Góc BNH ( Hai góc tương ứng )
Mà góc HMC và góc BNH là hai góc so le trong
=> BN // AC
c) Xét tam giác MHC và tam giác QHB, ta có:
Góc HMC = Góc HQB ( = 90 độ )
Góc MCH = Góc QBH ( do tam giác ABC cân tại A )
HC = HB ( câu b )
=> Tam giác MHC = Tam giác QHB ( ch-gn )
=> Góc MHC = Góc QHB
Mà góc MHC = Góc BHN ( Hai góc đối đỉnh )
=> Góc QHB = Góc BHN
Xét tam giác AQH và tam giác AMH, ta có:
Góc AQH = Góc AMH ( = 90 độ )
AH là cạnh huyền chung
Góc QAH = Góc MAH ( vì tam giác ABH = tam giác ACH )
=> Tam giác AQH = Tam giác AMH ( ch-gn )
=> QH = HM ( Hai cạnh tương ứng )
Mà HM = HN ( gt )
=> QH = HN
Gọi K là trung điểm của QN
Xét tam giác KHQ và tam giác KHN, ta có:
HQ = HN ( cmt )
Góc QHB = Góc BHN ( cmt )
HK là cạnh chung
=> Tam giác KHQ = Tam giác KHN ( c-g-c )
=> Góc QKH = Góc NKH ( Hai góc tương ứng ) và QK = QN ( Hai cạnh tương ứng )
Mà góc QKH và góc NKH là hai góc kề bù
=> Góc QKH = Góc NKH = 180/2 = 90 độ
=> HK là đường trung trực của QN
Hay BC là đường trung trực của QN
Cho tam giác ABC có 3 góc nhon (AB<AC), đường cao AH. Qua H vẽ HM ⊥ AB, M ϵ AB và HN ⊥ AC, N ϵ AC.
a) Chứng minh ΔAMH ∼ ΔAHB.
b) Chứng AN . AC= \(AH^2\)
c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh góc AEF = góc ABC.