Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AH\perp BC\), \(HM\perp AB,HN\perp AC,H\in BC,M\in AB,N\in AC.\) Chứng minh:

a) AM.AB = AN.AC

b) HB.HC = MA.MB + NA.NC

c) \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

d) \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

Answer 1

a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:

\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:

\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)

Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)

\(\Rightarrow MH=AN\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:

\(HN^2=AN\cdot NC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:

\(HM^2=AM\cdot MB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:

\(AN^2+HN^2=AH^2\)

Mà \(MH=AN\)

\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)

\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)

\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)

\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)