1 Cho tứ giác ABCD có độ dài 2 đường chéo là m và n . Góc nhọn xen giữa \(\alpha\)TÍNH S ABCD
2 Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH, DK,CN
CM; \(\frac{SHKN}{SABC}=1-\left(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\right)\)
BIẾT \(\frac{AK^2}{AB^2}=\frac{AN.NK}{AC.BC}\)
\(\frac{SANK}{SABC}=\cos^2A\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a, Cmr : \(\Delta AEF\sim\Delta ABC;\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
b, Cmr : \(S_{DEF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}\)
c, Cmr :\(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge3\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a, CMR: \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\) ; \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2\alpha\)
b, CMR: \(S_{DEF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}\)
c, Cho biết AH = k.HD. CMR: \(\tan B.\tan C=k+1\)
d, CMR: \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\)
Cho \(\Delta ABC\) (AB>AC).
a, Kẻ đường cao BM, CN của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng \(\Delta ABM\sim\Delta ACN,\widehat{AMN}=\widehat{ABC}.\)
b, Trên AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC, F là trng điểm của AK. Chứng minh rằng EF song song với tia phân giác Ax của \(\widehat{BAC}.\)
a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có
góc A chung
Do đo: ΔABM đồng dạng với ΔACN
Suy ra:AM/AN=AB/AC
hay AM/AB=AN/AC
Xét ΔAMN và ΔABC có
AM/AB=AN/AC
góc A chung
Do đo: ΔAMN đồng dạng với ΔABC
b: 
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a, Cmr : \(\Delta AEF\sim\Delta ABC;\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
b, Cmr : \(S_{DEF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}\)
c, Cmr :\(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge3\)
a) \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90o\) => tứ giác BFEC nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC;}\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)=> \(\Delta AEF~\Delta ABC\)
SAEF = \(\frac{1}{2}AE.AF.sinA\); SABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AF}{AB.AC}\)=cos2A (cosA = \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\))
b) làm tương tự câu a ta được SBFD=cos2B.SABC; SCED=cos2C.SABC
=> SDEF =SABC-SAEF-SBFD-SCED = (1-cos2A-cos2B-cos2C)SABC
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat{A}=90^0\) , \(AH\perp BC\). Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt AH tại K.
a) Chứng minh \(\Delta ABK\sim\Delta CAB\)
b) Chứng minh \(\frac{AB^2}{AK^2}=\frac{HC}{BC}\)
c) Chứng minh \(AB^2=AK.BC.sin^2C\)
d) Cho AB = 20 cm, BH = 12 cm. Tính BK, BC, AH
Cho tan giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH, BK và CI. Chứng minh rằng :
a) OK.OB = OI.OC
b) ΔOKI đồng dạng với ΔOCB
c) ΔBOH đồng dạng với ΔBCK
d) BO.BK + CO.CI = BC²
Giúp mình câu d với ạ
d) Xét tam giác BOH và tam giác BCK ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OBC}=\widehat{KBC}\left(chung\right)\\\widehat{OHB}=\widehat{BKC}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta OHB\sim\Delta CKB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BO}{CB}=\dfrac{BH}{BK}\left(tsdd\right)\)
\(\Rightarrow BH.BC=BO.BK\)
Xét tam giác COH và tam giác BCI ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OCH}=\widehat{ICB}\left(chung\right)\\\widehat{OHC}=\widehat{BIC}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta OHC\sim\Delta BIC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{CO}{CB}=\dfrac{CH}{CI}\left(tsdd\right)\)
\(\Rightarrow CH.BC=CO.CI\)
Mà \(BH.BC=BO.BK\) (cmt)
Nên CO.CI+BO.BK=CH.BC+BH.BC=BC.BC=BC2
Cho tam giác ABC (AB > AC ) có ba góc nhọn và hai đường cao BD, CE \(\left(D\in AC,E\in AB\right)\).
a) Chứng minh: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta ADB\sim\Delta AEC\\\Delta ADE\sim\Delta ABC\end{matrix}\right.\)
b) Tia ED cắt tia BC tại M. Vẽ MK // AB, MH // AC (K thuộc tia AC và H thuộc tia BA). Chứng minh: \(\dfrac{AK}{AC}-\dfrac{AH}{AB}=1\)
a) + ΔADB ∼ ΔAEC ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)
+ ΔADE ∼ ΔABC ( c.g.c )
b) + AC // MH \(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{MC}{CB}\)
+ AB // MK \(\Rightarrow\frac{CK}{AC}=\frac{MC}{CB}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{AC}-\frac{AH}{AB}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{CK}{AC}+1\right)-\frac{AH}{AB}=1\)
\(\Rightarrow\frac{AK}{AC}-\frac{AH}{AB}=1\)
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE,CF giao nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) ΔAEB∼ΔAFC
b)ΔABC∼ΔAEF
c) \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)(Cần mỗi ý c nha)
Lời giải:
câu c)
Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{HD.BC}{AD.BC}=\frac{2S_{BHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{HE}{BE}=\frac{HE.AC}{BE.AC}=\frac{2S_{AHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{HF}{CF}=\frac{HF.AB}{CF.AB}=\frac{2S_{AHB}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được:
\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Ta có đpcm.
