Dùng quy nạp nha
1. CMR: ∀n thì
a) \(A=10^n+72-1\)⋮81
b) \(B=2002^n-138n-1\)⋮207
2.CMR: ∀n∈N
a) \(1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{8}\)
b) \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)
CMR : 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{3}\)
CM bằng phương pháp quy nạp toán học nha
nhớ quy nạp
Đặt A=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)
=>3A=(3−0).1.2+(4−1).2.3+...+(n+2−n+1).n(n+1)
=>3A=1.2.3−0.1.2+2.3.4−1.2.3+...+n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)
=>3A=n(n+1)(n+2)
=>A=n(n+1)(n+2):3(đpcm)
Giải bằng phương pháp quy nạp
CMR với mọi n thuộc N* ta có:
\(a,1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
\(b,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\)
\(c,1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}\)
a) \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)(@@)
+) Với n = 1 ta có: \(1.2=\frac{1.\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}\) đúng
=> (@@) đúng với n = 1
+) G/s (@@) đúng cho đến n
+) Ta chứng minh (@@ ) đúng với n + 1
Ta có: \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)
=> (@@) đúng với n + 1
Vậy (@@ ) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0
b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\) (@)
Ta chứng minh (@) đúng với n là số tự nhiên khác 0 quy nạp theo n
+) Với n = 1 ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}\) đúng
=> (@) đúng với n = 1
+) G/s (@) đúng cho đến n
+) Ta cần chứng minh (@) đúng với n + 1
Ta có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n-1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)
=> (@) đúng với n + 1
Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.
c) Ta chứng minh
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}\)(@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0
+) Với n = 1 ta có: \(1^3=\frac{1^2\left(1+1\right)^2}{4}\)đúng
=> (@) đúng với n = 1
+) G/s n(@) đúng cho đến n
+) Ta chứng minh (@) với n + 1
Thật vậy:
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3+\left(n+1\right)^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3\)
\(=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}\)
=> (@) đúng với n + 1
Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.
Gửi : Nguyễn Huy Thắng ( Quy nạp )
CMR : 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Giải :
Đặt biểu thức trên là (*)
Với n = 1 Thì (*) \(\Leftrightarrow1.2=\frac{1.2.3}{3}\) ( Đúng )
Giả sử với (*) đúng với n=K
=> (*) <=> 1.2+2.3+...+k.(k+1)=\(.\frac{k.\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Ta phải chứng minh (*) cùng đúng với 2=k+1
thật vậy với n=k+1
=>(*) <=> 1.2+2.3+...+k.(k+1)+(k+1).(k+2)=\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
=> \(\frac{k.\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right).\left(k+2\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
=> \(\frac{k}{3}+1=\frac{k+3}{3}\Leftrightarrow\frac{k}{3}+1=\frac{k}{3}+1\)( Đúng )
=> (*) đúng với n = k+1
Vậy (*) đúng với mọi n thuộc N*
Sai hay đúng vậy :)
rút gọn phân thức:\(A=\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+\dfrac{7}{\left(3.4\right)^2}+...+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)
\(A=\dfrac{3}{\left(1\cdot2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2\cdot3\right)^2}+\dfrac{7}{\left(3\cdot4\right)^2}+...+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)
\(A=\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{5}{4\cdot9}+\dfrac{7}{9\cdot16}+...+\dfrac{2n+1}{n^2\cdot\left(n^2+2n+1\right)}\)
\(A=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)
\(A=1-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)
\(A=\dfrac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\)
Chứng minh các mệnh đề sau:
\(a,1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) \(\forall n\in N\) *
\(b,1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\) \(\forall n\in N\) *
Chứng minh rằng : a, (10n - 9n -1) chia hết cho 27;
b , 1.2+ 2.3 + 3.4 +..... +n(n+1) = \(\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
c, 1.2+2.5+3.8+......+ n(3n-1) = \(n^2\left(n+1\right)\)
d, 1.4 + 2.7 +3.10+...+ n(3n+1) = n(n+1)2.....
Tìm giới hạn các dãy số sau
a) \(lim\dfrac{2^n+6^n-4^{n-1}}{3^n+6^{n+1}}\)
b) \(lim\dfrac{1+3+5+...+\left(2n+1\right)}{3n^2+4}\)
c) \(lim\dfrac{1+2+3+...+n}{n^2-3}\)
d) \(lim\left[\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
e) \(lim\left[\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right]\)
\(a=lim\dfrac{\left(\dfrac{2}{6}\right)^n+1-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{6}\right)^n}{\left(\dfrac{3}{6}\right)^n+6}=\dfrac{1}{6}\)
\(b=\lim\dfrac{\left(n+1\right)^2}{3n^2+4}=\lim\dfrac{n^2+2n+1}{3n^2+4}=\lim\dfrac{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{3+\dfrac{4}{n^2}}=\dfrac{1}{3}\)
\(c=\lim\dfrac{n\left(n+1\right)}{2\left(n^2-3\right)}=\lim\dfrac{n^2+n}{2n^2-6}=\lim\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{2-\dfrac{6}{n^2}}=\dfrac{1}{2}\)
\(d=\lim\left[1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right]=\lim\left[1-\dfrac{1}{n+1}\right]=1\)
\(e=\lim\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right]\)
\(=\lim\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{1}{2n+1}\right]=\dfrac{1}{2}\)
c/m :
1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{3}\)
làm quy nạp giùm
Ta gọi A=1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)
3A=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+n.(n+1)(n+2-n+1)
=[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)]-[0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2)
=> A=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Vậy 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
viết nãy giờ bị thằng em phá hoại mất công
1.2+ 2.3+ 3.4+ ... +n(n+1)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
- Với \(n=1\Rightarrow1.2=\frac{1.2.3}{3}\) (đúng)
- Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(1.2+...+k\left(k+1\right)=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1.2+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Thật vậy:
\(1.2+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\frac{k}{3}+1\right]=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\) (đpcm)