\(P=\dfrac{3\sqrt{x}+6-1}{\sqrt{x}+2}=3-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}< 3\)

\(P=\dfrac{6\sqrt{x}+10}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{5\left(\sqrt{x}+2\right)+\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}\ge\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}\le P< 3\) ; \(\forall x\in\) TXĐ nên không tồn tại x để P nguyên (giữa 5/2 và 3 không có số nguyên nào)

Bài 12: 

Để N là số nguyên thì \(\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow-2⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+5\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)(vô lý

Bài 11: 

Để M là số nguyên thì \(3\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{4;8\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{1;25\right\}\)

Ta có:

\(x^2+4y^2+z^2-4x+4y-8z+24=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4+4y^2+4y+1+z^2-8z+16+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(4y^2+4y+1\right)+\left(z^2-8z+16\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-4\right)^2+3=0\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\\\left(2y+1\right)^2\ge0\\\left(z-4\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-4\right)^2+3\ge3\ne0\)

Vậy không có số thực x, y, z nào thỏa mãn đẳng thức.

tồn tại với x= 5

Lời giải:

ĐK: $x,y\geq 0$

Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)

Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.

$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$

$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.

Lời giải:

ĐK: $x,y\geq 0$

Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)

Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.

$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$

$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.

Cách khác:

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq 0$

Khi đó $\sqrt{2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{y}$

$\Rightarrow 2\geq 4y\Rightarrow y\leq \frac{1}{2}$

Mà $y$ là số nguyên không âm nên $y=0$

Thay vào: $\sqrt{x}=\sqrt{2}-\sqrt{y}=\sqrt{2}\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)

Vậy $(x,y)=(2,0); (0;2)$