Question

có tồn tại hay k số nguyên x,y thỏa mãn : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $x,y\geq 0$

Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)

Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.

$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$

$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.

Answer 2

Lời giải:

ĐK: $x,y\geq 0$

Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)

Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.

$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$

$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.

Answer 3

Cách khác:

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq 0$

Khi đó $\sqrt{2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{y}$

$\Rightarrow 2\geq 4y\Rightarrow y\leq \frac{1}{2}$

Mà $y$ là số nguyên không âm nên $y=0$

Thay vào: $\sqrt{x}=\sqrt{2}-\sqrt{y}=\sqrt{2}\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)

Vậy $(x,y)=(2,0); (0;2)$

Answer 4

.