Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh góc PCQ = 90do.
Tham khảo:
https://hoidap247.com/cau-hoi/1826211
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung AB (M≠≠A, M≠≠B) và I là điểm thuộc đoạn OA (I≠≠A, I≠≠O). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM, đường thẳng này cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Gọi M là giao điểm của AM với IC, F là giao điểm của BM với ID. Chứng minh rằng:
a, Tứ giác MIEF là tư giác nội tiếp.
b, EF song song vớiAB.
c,OM là tiếp tuyến chung của đươnmg tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM
TK:
a.
xét tứ giác BDMI ta có : IMD = 90 (CD ⊥ MI)
IBD = 90 (BD là tiếp tuyến)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau ⇒tứ giác BDMI là tứ giác nội tiếp
⇒ DMB = DIB (2 góc nội tiếp cùng chắng cung DB của tứ giác BDMI) (1)
xét tứ giác ACMI ta có : IAC = 90 (AC là tiếp tuyến)
IMC = 90 (CD ⊥ MI)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau ⇒⇒ tứ giác ACMI là tứ giác nội tiếp
⇒ CMA = CIA (2 góc nội tiếp cung chắng cung AC của tứ giác ACMI) (2)
mà CMA + DMB = 90 (góc AMB là góc nội tiếp chắng nửa (o)) (3)
tứ (1) ; (2) và (3) ta có : CIA + DIB = 90
⇒ CID = 180 - 90 = 90
xét tứ giác MIEF ta có : AMB = 90 (góc nội tiếp chắng nửa (o))
CID = 90 (chứng minh trên)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau ⇒ tứ giác MIEF là tứ giác nội tiếp (đpcm)
TK:b) ta có
\(\widehat{MEF}\)=\(\widehat{MIE}\)=\(\widehat{MIC}\)=\(\widehat{MAC}\)=\(\widehat{MBA}\)
⇒ EF // AB (đpcm)
c.
Ta có \(\widehat{AMO}\)=\(\widehat{OAM}\)=\(\widehat{IAM}\)=\(\widehat{ICM}\)=\(\widehat{MCE}\)
→OM là tiếp tuyến của (CME và DFM)
hình ảnh mag tính chất minh họa
(về cơ bản thì đúng)
a, CM : góc COD = 90o
b, CM : CD = AC + BD
c, gọi H là hình chiếu của M trên AB , I là giao điểm BC và MH . CM : IM = IH
Bạn có thể tham khảo bài tương tự ở đây:
BT: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ 2 tiếm tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Qua M thuộc nửa đường tròn (... - Hoc24
CM góc COD = 90 độ
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Ta có : OC là phân giác góc AOM
=> góc COM = 1/2 góc AOM
OD là phân giác góc BOM
=> góc DOM = 1/2 góc BOM
=> góc COD = góc COM + góc DOM = 1/2 ( góc AOM + góc BOM ) = 1/2 góc AOB = 1/2 x 180 độ = 90 độ
CM CD = AC + BD
Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có :
AC = CM
BD = MD
=> CD = MC + MD hay
CD = AC + BD
1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D.
a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Kẻ MH⊥AB tại H. Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm I của MH.
(Chỉ cần làm câu c thôi mấy câu để có số liệu thôi)
c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I
Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)
Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)
Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE
Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)
mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB=2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax,By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax,By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB).Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D. 1.chứng minh tam giác COD vuông tại O; 2.chứng minh AC.BD=R²; 3.kẻ MH vuông AB (H thuộc AB).chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH-
1: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
nen CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
2: AC*BD=MC*MD=OM^2=R^2
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB/2 = R
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a, CM : góc COD = 90o
b, CM : CD = AC + BD
c)Cm AC.BD=ABmu 2
d)CM OC//BM
e)CM AB la tiep tuyen (o'CD/2)
k)CM MN vuong goc AB
h)xac dinh vi tri diem M de chu vi ACDB co GTNN
Câu 13. BRVT2009 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ Ax, By vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thay đổi trên nửa đường tròn (M khác A, B), kẻ tiếp tuyến của nửa đường tròn lần lượt cắt Ax và By tại C và D. ① Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được đường tròn. ② Chứng minh OC vuông góc với OD và 1/OC^2 +1/OD^2 =1/R^2. ③ Xác định vị trí của M để (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất.
1: Xét tứ giác OACM có
góc OAC+góc OMC=180 độ
=>OACM là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
CA,CM là tiếp tuyến
nên OC là đường phân giác của góc AOM(1)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nen DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
=>OC vuông góc OD
=>1/OM^2=1/OC^2+1/OD^2=1/R^2
cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C nằm giữa A và B ( AC < AB). Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt tia Ax tại P
