1. Đề này là 18 chứ không phải 15 nhé

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+y+1}+x+\sqrt{y^2+x+y+1}+y=18\left(1\right)\\\sqrt{x^2+x+y+1}-x+\sqrt{y^2+x+y+1}-y=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) + (2) và (1) - (2) ta được hệ mới

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+y+1}+\sqrt{y^2+x+y+1}=10\\x+y=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=8-y\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}=10\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+9}=10-\sqrt{y^2+9}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-\sqrt{y^2+9}>0\\x^2+9=100-20\sqrt{y^2+9}+y^2+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-\sqrt{y^2+9}>0\\x^2=100-20\sqrt{y^2+9}+y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-\sqrt{y^2+9}>0\\\left(8-y\right)^2=100-20\sqrt{y^2+9}+y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-\sqrt{y^2+9}>0\\9y^2-72y+144=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=4\end{matrix}\right.\)

2. Dễ thấy x = y = 0 không phải là nghiệm của phương trình

HPT\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\left(1\right)\\1+\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{6}{\sqrt{y}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) + (2) ; (1) - (2) ta được

\(\left\{{}\begin{matrix}1=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{\sqrt{y}}\left(3\right)\\\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{3}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy ( 3) nhân (4)

\(\dfrac{12}{y+3x}=\dfrac{9}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{9x-y}{xy}\)

\(\Leftrightarrow27x^2-6xy-y^2=0\Leftrightarrow\left(9x+y\right)\left(3x-y\right)=0\)

\(\Rightarrow y=3x\)

đến đây thì dễ rồi

3. Đây là hệ đối xứng loại I

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=8\\\left(x+y\right)+2xy=2\end{matrix}\right.\)

Đặt S = a + b ; P = ab (\(S^2\ge4P\) )

xong giải ra thôi mà

a/ Bạn tự giải

b/ ĐKXĐ:...

Cộng vế với vế: \(\frac{x-y}{y+12}=3\Rightarrow x-y=3y+36\Rightarrow x=4y+36\)

Thay vào pt đầu: \(\frac{4y+36}{y}-\frac{y}{y+12}=1\)
Đặt \(\frac{y+12}{y}=a\Rightarrow4a-\frac{1}{a}=1\Rightarrow4a^2-a-1=0\)

\(\Rightarrow a=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}\) \(\Rightarrow\frac{y+12}{y}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+12=y\left(\frac{1+\sqrt{17}}{8}\right)\\y+12=y\left(\frac{1-\sqrt{17}}{8}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(\frac{-7+\sqrt{17}}{8}\right)y=12\\\left(\frac{-7-\sqrt{17}}{8}\right)y=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=...\)

Chắc bạn ghi sai đề, nghiệm quá xấu

3/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2=5\\3x^2-9y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y^2+9y=2\Rightarrow y^2+9y-2=0\Rightarrow y=...\)

4/ ĐKXĐ:...

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{3x-1}-3\sqrt{2y+1}=3\\2\sqrt{3x-1}+3\sqrt{2y+1}=12\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5\sqrt{3x-1}=15\Rightarrow\sqrt{3x-1}=3\Rightarrow x=\frac{10}{3}\)

\(\sqrt{2y+1}=\sqrt{3x-1}-1=3-1=2\Rightarrow2y+1=4\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)

5,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+y\right)\left(x+2\right)=0\\2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2\end{matrix}\right.\)

Thay từng TH rồi làm nha bạn

3,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=0\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)

thay nhá

Bài 1:ĐKXĐ: \(2x\ge y;4\ge5x;2x-y+9\ge0\)\(\Rightarrow2x\ge y;x\le\frac{4}{5}\Rightarrow y\le\frac{8}{5}\)

PT(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(2x-y+3\right)=0\)

+) Với y = x - 1 thay vào pt (2):

\(\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}\) (ĐK: \(-1\le x\le\frac{4}{5}\))

Anh quy đồng lên đê, chắc cần vài con trâu đó:))

+) Với y = 2x + 3...

Ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}xy+3y-5x-15=xy\\2xy+30x-y^2-15y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=3y-15\\6\left(3y-15\right)-y^2-15y=0\end{matrix}\right.\)

Ta có pt (2) \(\Leftrightarrow3y-y^2-80=0\Leftrightarrow y^2-3y+80=0\left(VN\right)\)

=> hpy vô nghiệm

c) Ta có hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)\left(xy+x+y\right)=30\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y=11\end{matrix}\right.\)

Đặt j\(xy\left(x+y\right)=a;xy+x+y=b\), ta có hpt

\(\left\{{}\begin{matrix}ab=30\\a+b=11\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=5;b=6\\a=6;b=5\end{matrix}\right.\)

với a=5;b=6, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=5\\xy+x+y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=1;x+y=5\\xy=5;x+y=1\end{matrix}\right.\)

đến đây thì thế y hoặc x ra pt bậc 2, còn TH còn lại bn tự giải nhé !

b) Ta có hpt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-3y+2=-4z^2\\2\sqrt{3x}+4y-2=6z^2\\-3\sqrt{x}+y-4=-2z^2\end{matrix}\right.\)

cộng 3 vế của 3 pt, ta có \(\left(2\sqrt{3}-1\right)\sqrt{x}=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{2\sqrt{3}-1}\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}\)

đến đây thay căn(x)=...vào và đặt z^2=m, ta sẽ ra 1 hệ mới chỉ có 2 ẩn y và m bậc 1 , lát thế vào sẽ ra bậc 2 thì dễ rồi !

Câu 1.

Điều kiện: \(x^2\ge2y+1\)

Từ $(1)$ ta được \(\left(x^2-2y\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2y\left(L\right)\\x=y\end{matrix}\right.\)

Khi đó $(2)$ \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)=0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} + \dfrac{{{x^3} - 14 - {{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right) + {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \dfrac{{6{x^2} - 12x - 6}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} \left[ {1 + \dfrac{{3\sqrt {{x^2} - 2x - 1} }}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 1} = 0 \end{array} \)

Từ đó ta được \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=$\(\left\{\left(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right),\left(1-\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)\right\}\)

Câu 2.

Điều kiện: \(y \ge 0,x \ge -2\)

Từ phương trình $(1)$ tương đương:

$$2\sqrt{x+y^2+y+3}=3\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$$

Ta có:

$$3\sqrt y + \sqrt {x + 2} = \sqrt 3 .\sqrt {3y} + 1.\sqrt {x + 2} \le 2\sqrt {3y + x + 2}$$

Ta chứng minh:

$$2\sqrt {3y + x + 2} \le 2\sqrt {x + {y^2} + y + 3} \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$$

Đẳng thức xảy ra khi $y=1$ và \(\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\Rightarrow x=-1\)

Thay vào phương trình $(2)$ thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm hệ phương trình $(x;y)=(-1;1)$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:

$$x + 2y + 2\sqrt {x + 2y} + 1 = {x^2} + 2x - 1 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 2y} + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 2y} = x\\
\sqrt {x + 2y} = - x - 2
\end{array} \right.$$

$TH1:$ \(\sqrt{x+2y}=x\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2y=x^2-x\end{matrix}\right.\) thay vào phương trình thứ nhất ta được \(13x^2-11x-30=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow y = 0\\ x = 2 \Rightarrow - 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \dfrac{{15}}{3} \Rightarrow y = 0\\ x = - \dfrac{{15}}{4} \Rightarrow y = 4 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

$TH2:$ \(\sqrt{x+2y}=-x-2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\le0\\2y=x^2+x+1\end{matrix}\right.\) thay vào phương trình thứ nhất ta được phương trình bậc hai theo $x$

Tự giải tiếp nhé!

a: \(\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{5}-y=3\sqrt{2}\\10x+\sqrt{2}\cdot y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\10x+\sqrt{2}\left(4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\10x=-1-4\sqrt{10}+6=5-4\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\end{matrix}\right.\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}x+\dfrac{2}{5}y=2,3\\x-\dfrac{3}{5}y=0,8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{9}{4}x+\dfrac{6}{5}y=6,9\\2x-\dfrac{6}{5}y=1,6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{17}{4}x=8,5\\x-0,6y=0,8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=8,5:\dfrac{17}{4}=8,5\cdot\dfrac{4}{17}=2\\0,6y=x-0,8=2-0,8=1,2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: y>2

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|-\dfrac{3}{\sqrt{y-2}}=-1\\2\left|1-x\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-\dfrac{6}{\sqrt{y-2}}=-2\\2\left|x-1\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{7}{\sqrt{y-2}}=-7\\2\left|1-x\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-2}=1\\2\left|x-1\right|=5-1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-2=1\\\left|x-1\right|=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x-1\in\left\{2;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x\in\left\{3;-1\right\}\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)