a) A ∪ B = (-∞; 15)

A ∩ B = [-2; 3)

b) Để A ⊂ B thì:

m - 1 > -2 và m + 4 ≤ 3

*) m - 1 > -2

m > -2 + 1

m > -1

*) m + 4 ≤ 3

m ≤ 3 - 4

m ≤ -1

Vậy không tìm được m thỏa mãn đề bài

a) A ∪ B = (-∞;15]

A∩B = [-2;3)

a) (-\(\infty\);15) ; [-2;3) 

b) -1<m≤-1

Lời giải:

Thay $1=a+b+c$ ta có:

\(A=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)}{(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)}\)

\(=\frac{(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}\)

\(a+2b+c=(b+c)+(b+a)\geq 2\sqrt{(b+c)(b+a)}\)

\(a+b+2c=(c+a)+(c+b)\geq 2\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

Nhân theo vế:

\(\Rightarrow (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)\)

Do đó: \(A\geq \frac{8(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=8\)

Vậy GTNN của $A$ là $8$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

@Akai Haruma

\(M=\left(\frac{3}{\sqrt{a+1}}+\sqrt{1-a}\right):\left(\frac{3}{\sqrt{1-a^2}}+1\right)\)

\(=\left(\frac{3+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{\sqrt{1+a}}\right):\left(\frac{3+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}}\right)\)

\(=\frac{3+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}{\sqrt{1+a}}.\frac{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a\right)}}{3+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}}\)

\(=\sqrt{1-a}\left(đpcm\right)\)

a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16\)

\(=\left(2m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-3<0

hay m<3/2

c: Để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x_2=-2m+2\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m-2}{3}\\x_1=\dfrac{4m-4}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=2m-3\)

\(\Leftrightarrow2m-3=\dfrac{2m-2}{3}\cdot\dfrac{4m-4}{3}\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-18m+27=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-34m+35=0\)

\(\text{Δ}=\left(-34\right)^2-4\cdot8\cdot35=36>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{34-6}{16}=\dfrac{28}{16}=\dfrac{7}{4}\\m_2=\dfrac{34+6}{16}=\dfrac{40}{16}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< a,b,c< 1\)

\(B=\dfrac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\dfrac{\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]\left[\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\right]}{\left(a+b+c-a\right)\left(a+b+c-b\right)\left(a+b+c-c\right)}\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2\\B=\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\end{matrix}\right.\)

\(B>0;B^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2}{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2}{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}.\dfrac{\left(y+z\right)^2}{yz}.\dfrac{\left(z+x\right)^2}{zx}\)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2\ge4xy\\\left(y+z\right)^2\ge4yz\\\left(z+x\right)^2\ge4zx\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow B^2\ge64;B\ge8\) khi x=y=z;a=b=c=1/3

a, Thay m vào pt ta được :

(3+1).x²-2(3+1).x+3-3=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-8x=0

\(\Leftrightarrow4x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy m=3 phương trình có 2 nghiệm là 0 và 2

b, Theo Vi et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+1}\end{matrix}\right.\left(vớim\ne-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=2\end{matrix}\right.\)  (1)

Ta có : (4x₁+1)(4x₂+1)=18

\(\Leftrightarrow16x_1.x_2+4x_1+4x_2+1=18\)

\(\Leftrightarrow16.x_1.x_2+4\left(x_1+x_2\right)=17\)  (2)

Thay (1) vào (2) ta được : 

         16.\(\dfrac{m-3}{m+1}+4.2=17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16m-48}{m+1}=9\)

\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)=16m-48\)

\(\Leftrightarrow9m+9=16m-48\)

\(\Leftrightarrow7m=57\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{57}{7}\) (thỏa mãn m\(\ne-1\))

Vậy ..