a) Vì góc B = 90 độ nên => tam giác ABC là tam giác vuông tại B

* theo định lí py-ta-go ta có :

\(AC^2=AB^2+BC^2\) => \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13cm\)

* Theo định lí 3 ta có :

AB.BC=BH.AC <=> 12.5=BH.13 => BH = \(\dfrac{12.5}{13}\)=\(\dfrac{60}{13}\)cm

a: \(AC=\sqrt{5^2+12^2}=13\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{5\cdot12}{13}=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

b: \(sinHBC=sinBAC=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{5}{13}\)

\(\dfrac{\tan ABH}{cotACB}=\dfrac{tanACB}{cotACB}=\dfrac{AB}{BC}:\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{144}{25}\)

Nguyễn TrươngNguyễn Việt LâmNguyenÁnh LêAkai Haruma

Nguyễn TrươngNguyễn Việt LâmNguyenÁnh LêAkai HarumaPhùng Tuệ MinhDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

Lời giải:

a)

Xét tam giác $ABH$ và $CBA$ có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\) (giả thiết)

\(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CBA(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

b) Xét tam giác $ABH$ và $CAH$ có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}(=90^0-\widehat{HAC})\)

\(\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CAH(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

(đpcm)

c) Theo định lý Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2\Rightarrow BC=20\)

\(AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=9,6\)

d) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $BEC$ có $H,M,A$ thẳng hàng:
\(\frac{HB}{HC}.\frac{ME}{MB}.\frac{AC}{AE}=1(1)\)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $BEH$ có $M,I,C$ thẳng hàng:

\(\frac{BM}{EM}.\frac{IE}{IH}.\frac{CH}{CB}=1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{HB}{HC}.\frac{AC}{AE}.\frac{IE}{IH}.\frac{CH}{CB}=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{HB.AC}{AE.CB}.\frac{IE}{IH}=1(3)\)

Mà áp dụng định lý Ta-let cho TH $HE\parallel AB$ ta có:

\(\frac{AE}{AC}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow HB.AC=AE.CB\Rightarrow \frac{HB.AC}{AE.CB}=1(4)\)

Từ \((3);(4)\Rightarrow \frac{IE}{IH}=1\Rightarrow IE=IH\) hay $I$ là trung điểm của $HE$ (đpcm)

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

góc B chung

Do đó:ΔABH\(\sim\)ΔCBA

Suy ra: BA/BC=BH/BA

hay \(BA^2=BH\cdot BC\)

b: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=2.4\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=1.8\left(cm\right)\)

CH=BC-BH=3,2(cm)

c: Xet ΔABC có AD là phân giác

nên DB/AB=DC/AC

=>DB/3=DC/4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: DB=15/7(cm) DC=20/7(cm)

Xét \(\Delta ABH\perp H\) có :

\(HC^2=AC^2-AH^2\) (định lí PITAGO)

=> \(HC^2=20^2-12^2=256\)

=> \(HC=\sqrt{256}=16\) (cm)

Xét \(\Delta ABH\perp H\) có :

\(AB^2=BH^2+AH^2\)

=> \(AB^2=12^2+5^2=169\)

=> \(AB=\sqrt{169}=13\left(cm\right)\)

Bài2 :

Xét \(\Delta ABC\perp A\left(gt\right)\) có :

\(AC^2=BC^2-AB^2\) (Định lí PITAGO)

=> \(AC^2=15^2-9^2=144\)

=> \(AC=\sqrt{144}=12\left(cm\right)\)

Vậy độ dài đoạn AC là 12cm.

Bài 4 :

a) Xét \(\Delta AHB,\Delta AHC\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^{^o}\right)\)

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

=> \(\Delta AHB=\Delta AHC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> HB= HC (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta DBH,\Delta ECH\) có :

\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(BH=CH\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BDH}=\widehat{CEH}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta DBH=\Delta ECH\) (cạnh huyền -góc nhọn)

=> DH = EH (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta HDE\) cân tại H.

c) Nếu \(\widehat{BAC}=120^o\) thì :

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180^{^O}-120^o}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

Ta chứng minh được : \(\Delta ADE\) cân tại A

\(\Leftrightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-120^O}{2}=\dfrac{60^{^O}}{2}=30^{^O}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADE}+\widehat{BDH}+\widehat{HDE}\)

\(\Leftrightarrow180^{^O}=30^{^O}+90^{^O}+\widehat{HDE}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HDE}=60^o\)

=> \(\widehat{HDE}=\widehat{HED}=60^{^O}\)

=> Tam giác HDE là tam giác đều.

d) Ta có: \(\Delta ADE\) cân tại A

=> \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> BC // DE

=> đpcm.