• Đặt \(S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)

• Dựng \(AH\perp BC\text{ và }MK\perp BC\)

⇒ AH // MK

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{MD}=\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}=\dfrac{S_{ABC}}{S_1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AD}{MD}-1=\dfrac{S_{ABC}}{S_1}-1=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}=\sqrt{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}}\)

• Tương tự, ta cũng có: \(\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}=\sqrt{\dfrac{S_1+S_3}{S_2}};\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}=\sqrt{\dfrac{S_1+S_2}{S_3}}\)

• Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(P=\sqrt{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\dfrac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\dfrac{S_2+S_1}{S_3}}\)

\(\ge3\sqrt[6]{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\times\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\times\dfrac{S_2+S_1}{S_3}}\)

\(\ge3\sqrt[6]{\dfrac{2\sqrt{S_2S_3}}{S_1}\times\dfrac{2\sqrt{S_1S_3}}{S_2}\times\dfrac{2\sqrt{S_2S_1}}{S_3}}=3\sqrt{2}\)

• Dấu "=" xảy ra khi \(S_1=S_2=S_3\)

⇔ M là trọng tâm của ΔABC.

Ta có: \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}=\sqrt{\frac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\frac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\frac{S_1+S_2}{S_3}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_1}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2}{2S_3}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_2}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_3}}\right)\frac{1}{2}\cdot6=3\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi S₁ =S₂=S₃ <=> M là trọng tâm \(\Delta ABC\)

Tam giác ABC là tam giác đều?

Nếu ABC đều thì \(\left|\overrightarrow{BM}\right|=BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Chọn C

a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.

b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).

Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).

c) Gọi P' là trung điểm của MC.

Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.

Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.

Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.

a)Vì BM là đường kính \(\Rightarrow\angle MNB=90\) mà \(\angle CAM=90\Rightarrow \) CAMN nội tiếp

b) Vì CAMN nội tiếp \(\Rightarrow \angle MCN=\angle MAN\)

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta BNA\):Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCM=\angle BAN\\\angle CBAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{MC}{NA}\)

c) gọi P' là trung điểm CM \(\Rightarrow\) P' là tâm của (AMNC)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle P'AM=\angle P'MA\\\angle P'NO=\angle P'NM+\angle MNO=\angle P'MN+\angle OMN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \angle P'AM+\angle P'NO=\angle P'MA+\angle P'MN+\angle OMN=180\)

\(\Rightarrow \) P'NOA nội tiếp \(\Rightarrow P\equiv P'\Rightarrow\) P là trung điểm CM

Xét \(\Delta CMB:\)Ta có: P,O lần lượt là trung điểm CM,MB

\(\Rightarrow \) PO là đường trung bình \(\Delta CMB\Rightarrow PO=\dfrac{1}{2}BC\) cố định

JK trong tim tui òi