Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Aurora

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. Điểm M thuộc cạnh AB. Đường tròn tâm O đường kính BM cắt BC tại N

a, AMNC là tứ giác nội tiếp

b, \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{MC}{NA}\)

c, Đường tròn ngoại tiếp tam giác AON cắt CM tại P. chứng minh rằng đoạn thẳng OP có độ dài không đổi khi M di động trên cạnh AB

Trần Minh Hoàng
27 tháng 5 2021 lúc 21:23

a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.

b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).

Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).

c) Gọi P' là trung điểm của MC.

Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.

Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.

Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.

Trần Minh Hoàng
27 tháng 5 2021 lúc 21:23

undefined

An Thy
27 tháng 5 2021 lúc 21:31

a)Vì BM là đường kính \(\Rightarrow\angle MNB=90\) mà \(\angle CAM=90\Rightarrow \) CAMN nội tiếp

b) Vì CAMN nội tiếp \(\Rightarrow \angle MCN=\angle MAN\)

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta BNA\):Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCM=\angle BAN\\\angle CBAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{MC}{NA}\)

c) gọi P' là trung điểm CM \(\Rightarrow\) P' là tâm của (AMNC)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle P'AM=\angle P'MA\\\angle P'NO=\angle P'NM+\angle MNO=\angle P'MN+\angle OMN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \angle P'AM+\angle P'NO=\angle P'MA+\angle P'MN+\angle OMN=180\)

\(\Rightarrow \) P'NOA nội tiếp \(\Rightarrow P\equiv P'\Rightarrow\) P là trung điểm CM

Xét \(\Delta CMB:\)Ta có: P,O lần lượt là trung điểm CM,MB

\(\Rightarrow \) PO là đường trung bình \(\Delta CMB\Rightarrow PO=\dfrac{1}{2}BC\) cố định


Các câu hỏi tương tự
2moro
Xem chi tiết
Diệu Bảo Trâm Nguyễn
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Zenitisu
Xem chi tiết
Trần Đức Huy
Xem chi tiết
Đặng Cnog
Xem chi tiết
41 Thu Trang Lớp 9/7
Xem chi tiết
Wolf 2k6 has been cursed
Xem chi tiết
annie
Xem chi tiết