Ôn tập chương II - Đa giác. Diện tích đa giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
TRẦN MINH NGỌC

Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác . các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \(\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}+\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}+\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}\)

Phương Ann
25 tháng 2 2018 lúc 11:00

Ôn tập chương II - Đa giác. Diện tích đa giác

• Đặt \(S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)

• Dựng \(AH\perp BC\text{ và }MK\perp BC\)

⇒ AH // MK

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{MD}=\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}=\dfrac{S_{ABC}}{S_1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AD}{MD}-1=\dfrac{S_{ABC}}{S_1}-1=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}=\sqrt{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}}\)

• Tương tự, ta cũng có: \(\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}=\sqrt{\dfrac{S_1+S_3}{S_2}};\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}=\sqrt{\dfrac{S_1+S_2}{S_3}}\)

• Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(P=\sqrt{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\dfrac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\dfrac{S_2+S_1}{S_3}}\)

\(\ge3\sqrt[6]{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\times\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\times\dfrac{S_2+S_1}{S_3}}\)

\(\ge3\sqrt[6]{\dfrac{2\sqrt{S_2S_3}}{S_1}\times\dfrac{2\sqrt{S_1S_3}}{S_2}\times\dfrac{2\sqrt{S_2S_1}}{S_3}}=3\sqrt{2}\)

• Dấu "=" xảy ra khi \(S_1=S_2=S_3\)

⇔ M là trọng tâm của ΔABC.


Các câu hỏi tương tự
N.T.M.D
Xem chi tiết
N.T.M.D
Xem chi tiết
Quang Hưng Nguyễn
Xem chi tiết
N.T.M.D
Xem chi tiết
N.T.M.D
Xem chi tiết
Mãi Vui
Xem chi tiết
Nam Trân
Xem chi tiết
Mai Thanh Hoàng
Xem chi tiết
MOHAMET SALAS
Xem chi tiết