a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

Nhìn sơ qua hình như bài có thiếu đk gì đó...

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)$

Cũng áp dụng BĐT Cô-si: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) khi đó thu được \(xyz=1\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{x^2yz}{y+z}=\dfrac{x}{y+z}\)

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{z+x}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

Đánh giá cuối cùng đúng theo BĐT Cauchy

Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = 1.

Cho a = 1; b = 2; c= 1/2 suy ra suy ra VT = 101/126 < 1?

Agami Raito đề sai nha bạn, mình có đề khác cũng gần giống, bạn xem thử :

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\le1\)

Giả thiết như trên nhé

Giải theo đề anh Bonking nha!

Trước hết ta có BĐT sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) với x, y > 0 áp dụng vào và ta có:

\(VT\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\Sigma_{cyc}\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

\(P=\dfrac{a^2}{ab+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{b^2}{bc+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{c^2}{ca+\dfrac{1}{a}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\)

\(P\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca+\dfrac{ab+bc+ca}{abc}}=\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{abc}}=\dfrac{3abc}{1+abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Với a, b, c > 0 có:

\(P=\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\\ =\dfrac{a^2}{a\left(b+2c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c+2a\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+2b\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(1+\alpha\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(1+\alpha\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)

chọn \(\alpha=\dfrac{1}{abc}\Rightarrow dpcm\) 

a)Svac-so:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2\left(đpcm\right)}\)

b)\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2+1}-\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{b^2+1}-\dfrac{1}{ab+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+1-a^2-1}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\dfrac{ab+1-b^2-1}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{b}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}-\dfrac{a}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{b\left(a^2+1\right)-a\left(b^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{a^2b+b-ab^2-a}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\dfrac{ab-1}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)(luôn đúng)