Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) Ta có: 

\(M=2x^2+4x+7\)

\(M=2\cdot\left(x^2+2x+\dfrac{7}{2}\right)\)

\(M=2\cdot\left(x^2+2x+1+\dfrac{5}{2}\right)\)

\(M=2\cdot\left[\left(x+1\right)^2+2,5\right]\)

\(M=2\left(x+1\right)^2+5\)

Mà: \(2\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\) nên:

\(M=2\left(x+1\right)^2+5\ge5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra:

\(2\left(x+1\right)^2+5=5\Leftrightarrow2\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy: \(M_{min}=5\) khi \(x=-1\)

b) Ta có:

\(N=x^2-x+1\)

\(N=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(N=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Mà: \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\) nên \(N=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\)

Dấu '=" xảy ra: 

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(N_{min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) Ta có: 

\(E=-4x^2+x-1\)

\(E=-\left(4x^2-x+1\right)\)

\(E=-\left[\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}\right]\)

\(E=-\left[\left(2x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{15}{16}\right]\)

Mà: \(\left(2x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{15}{16}\ge\dfrac{15}{16}\forall x\) nên 

\(\Rightarrow E=-\left[\left(2x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{15}{16}\right]\le-\dfrac{15}{16}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra:

\(-\left[\left(2x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{15}{16}\right]=-\dfrac{15}{16}\Leftrightarrow-\left(2x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{15}{16}=-\dfrac{15}{16}\)

\(\Leftrightarrow-\left(2x+\dfrac{1}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow2x-\dfrac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{16}\)

Vậy: \(E_{max}=-\dfrac{15}{16}\) khi \(x=\dfrac{1}{16}\)

b) Ta có:

\(F=5x-3x^2+6\)

\(F=-3x^2+5x-6\)

\(F=-\left(3x^2-5x-6\right)\)

\(F=-3\left(x^2-\dfrac{5}{3}x-2\right)\)

\(F=-3\left[\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{97}{36}\right]\)

\(F=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{36}\)

Mà: \(-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2\le0\forall x\) nên:

\(F=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{36}\le\dfrac{97}{36}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra:

\(-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{36}=\dfrac{97}{36}\Leftrightarrow-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{5}{6}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6}\)

Vậy: \(F_{max}=\dfrac{97}{36}\) khi \(x=\dfrac{5}{6}\)

\(M=2x^2+4x+7\)

\(=2\left(x^2+2x+\dfrac{7}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+2x+1+\dfrac{5}{2}\right)\)

\(=2\left[\left(x+1\right)^2+\dfrac{5}{2}\right]\)

\(=2\left(x+1\right)^2+5\)

Vì \(2\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2\left(x+1\right)^2+5\ge5\forall x\)

\(\Rightarrow M_{min}=5\Leftrightarrow2\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Tương tự: \(N=x^2-x+1\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\)

\(\Rightarrow N_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(E=-4x^2+x-1\)

\(=-4\left(x^2-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=-4\left[x^2-2.x.\dfrac{1}{8}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^2-\left(\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{1}{4}\right]\)

\(=-4\left[\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{64}\right]\)

\(=-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2-\dfrac{15}{16}\)

Vì \(-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2-\dfrac{15}{16}\le-\dfrac{15}{16}\forall x\)

\(\Rightarrow E_{max}=-\dfrac{15}{16}\Leftrightarrow-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}\)

Tương tự: \(F=5x-3x^2+6\)

\(=-3x^2+5x+6\)

\(=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{12}\le\dfrac{97}{12}\forall x\)

\(\Rightarrow F_{max}=\dfrac{97}{12}\Leftrightarrow-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6}\)

Bài 1:

a: \(M=x^2-10x+3\)

\(=x^2-10x+25-22\)

\(=\left(x^2-10x+25\right)-22\)

\(=\left(x-5\right)^2-22>=-22\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-5=0

=>x=5

b: \(N=x^2-x+2\)

\(=x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>=\dfrac{7}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1/2=0

=>x=1/2

c: \(P=3x^2-12x\)

\(=3\left(x^2-4x\right)\)

\(=3\left(x^2-4x+4-4\right)\)

\(=3\left(x-2\right)^2-12>=-12\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-2=0

=>x=2

1: Ta có: \(x^2-2x-5\)

\(=x^2-2x+1-6\)

\(=\left(x-1\right)^2-6\ge-6\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=1

2: ta có: \(3x^2+5x-2\)

\(=3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x-\dfrac{2}{3}\right)\)

\(=3\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{5}{6}+\dfrac{25}{36}-\dfrac{49}{36}\right)\)

\(=3\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{49}{12}\ge-\dfrac{49}{12}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{5}{6}\)

a) \(A=x^2-4x+1=\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)

\(minA=-3\Leftrightarrow x=2\)

b) \(B=-x^2-8x+5=-\left(x+4\right)^2+21\le21\)

\(maxB=21\Leftrightarrow x=-4\)

c) \(C=2x^2-8x+19=2\left(x-2\right)^2+11\ge11\)

\(minC=11\Leftrightarrow x=2\)

d) \(D=-3x^2-6x+1=-3\left(x+1\right)^2+4\le4\)

\(maxD=4\Leftrightarrow x=-1\)

a) A = (x-2)^2 - 3 >= -3

--> A nhỏ nhất bằng -3

 <=> x = 2

b) B = -(x+4)^2 + 21 <= 21

--> B lớn nhất bằng 21

<=> x = -4

Tính giá trị nhỏ nhất:

\(A=x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-3=(x-2)^2-3\)

Vì $(x-2)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}$ nên $A=(x-2)^2-3\geq 0-3=-3$

Vậy $A_{\min}=-3$

Giá trị này đạt tại $(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2$

$B=4x^2+4x+11=(4x^2+4x+1)+10=(2x+1)^2+10\geq 0+10=10$
Vậy $B_{\min}=10$ 

Giá trị này đạt tại $(2x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$
$C=(x-1)(x+3)(x+2)(x+6)$

$=(x-1)(x+6)(x+3)(x+2)$
$=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=(x^2+5x)^2-36\geq 0-36=-36$

Vậy $C_{\min}=-36$. Giá trị này đạt $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

Tìm giá trị lớn nhất:

$D=5-8x-x^2=21-(x^2+8x+16)=21-(x+4)^2$

Vì $(x+4)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}$ nên $D=21-(x+4)^2\leq 21$

Vậy $D_{\max}=21$. Giá trị này đạt tại $(x+4)^2=0\Leftrightarrow x=-4$

$E=4x-x^2+1=5-(x^2-4x+4)=5-(x-2)^2\leq 5$

Vậy $E_{\max}=5$. Giá trị này đạt tại $(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2$

Câu 1:

$y=-2x^2+4x+3=5-2(x^2-2x+1)=5-2(x-1)^2$

Vì $(x-1)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên $y=5-2(x-1)^2\leq 5$

Vậy $y_{\max}=5$ khi $x=1$
Hàm số không có min.

Câu 2:

Hàm số $y$ có $a=-3<0; b=2, c=1$ nên đths có trục đối xứng $x=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{3}$

Lập BTT ta thấy hàm số đồng biến trên $(-\infty; \frac{1}{3})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{3}; +\infty)$

Với $x\in (1;3)$ thì hàm luôn nghịch biến

$\Rightarrow f(3)< y< f(1)$ với mọi $x\in (1;3)$

$\Rightarrow$ hàm không có min, max. 

Câu 3:

$y=x^2-4x-5$ có $a=1>0, b=-4; c=-5$ có trục đối xứng $x=\frac{-b}{2a}=2$

Do $a>0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty)$

Với $x\in (-1;4)$ vẽ BTT ta thu được $y_{\min}=f(2)=-9$

\(E=-4x^2+x+1\)

\(\Rightarrow E=-4\left(x^2-\dfrac{x}{4}\right)+1\)

\(\Rightarrow E=-4\left(x^2-\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{64}\right)+1+\dfrac{1}{16}\)

\(\Rightarrow E=-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{17}{16}\)

 mà \(-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2\le0,\forall x\)

\(\Rightarrow E=-4\left(x-\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{17}{16}\le\dfrac{17}{16}\)

\(\Rightarrow GTLN\left(E\right)=\dfrac{17}{16}\left(tạix=\dfrac{1}{8}\right)\)

\(F=5x-3x^2+6\)

\(\Rightarrow F=-3\left(x^2-\dfrac{5x}{3}\right)+6\)

\(\Rightarrow F=-3\left(x^2-\dfrac{5x}{3}+\dfrac{25}{36}\right)+6+\dfrac{25}{12}\)

\(\Rightarrow F=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{12}\)

mà \(-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2\le0,\forall x\)

\(\Rightarrow F=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{97}{12}\le\dfrac{97}{12}\)

\(\Rightarrow GTLN\left(F\right)=\dfrac{97}{12}\left(tạix=\dfrac{5}{6}\right)\)

E=?

F=?

b: \(x^2-x+1=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

c: \(A=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=3

d: \(B=-\left(x^2-4x+5\right)=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

a, Có \(\left(x^2-9\right)^2\)≥0   ∀ x ∈ Z

           |y-2| ≥0   ∀ y ∈ Z

⇒ Gía trị nhỏ nhất A=-1. Dấu ''='' xảy ra khi:\(\left(x^2-9\right)^2\)+|y-2|=0

                                                                 ⇒   \(x=3\) ;  \(y=2\)

Vậy.....

b, Có \(x^4\) ≥ 0 ∀ x ∈ Z

         3\(x^2\) ≥ 0 ∀ x ∈ Z

 ⇒ Giá trị nhỏ nhất của B=2. Dấu ''='' xảy ra khi: \(x^4\)+3\(x^2\)=0

                                                                         ⇒  \(x^2\left(x^2+3\right)\)=0

                                                                         ⇒  \(x^2\)             =0

                                                                         ⇒   \(x=0\)

Vậy...