a) Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\\\widehat{A}chung\end{cases}\Rightarrow\Delta ADB}\)đồng dạng \(\Delta AEC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)( các đoạn tương ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

Xét tam giác AED và tam giác ACB có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AED}\)đồng dạng \(\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)

b) Xét tam giác HEB và tam giác HDC có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\left(2gocdoidinh\right)\\\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\Delta HEB~\Delta HDC\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)( các đoạn tương ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow HE.HC=HB.HD\)

c)  Ta có: \(\hept{\begin{cases}KC\perp AC\left(gt\right)\\BD\perp AC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}KC//BD\)( từ vuông góc đến song song )

\(\Rightarrow KC//BH\left(H\in BD\right)\)

CMTT \(HC//BK\)

Xét tứ giác BHCK có:

\(\hept{\begin{cases}KC//BH\left(cmt\right)\\HC//BK\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow BHCK}\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow BC\)giao HK tại trung điểm mỗi đường (tc)

Mà M là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm của HK và M thuộc HK

\(\Rightarrow H,M,K\)thẳng hàng

d) BHCK nha bạn

Vì H là giao điểm của 2 đường cao BD và EC

\(\Rightarrow H\)là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow AH\perp BC\)(tc)  (1)

Để BHCK là hình thoi \(\Leftrightarrow HK\perp BC\)

\(\Leftrightarrow HM\perp BC\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A,H,M\)thẳng hàng 

=> AM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác ABC

=> tam giác ABC cân tại A 

Để BHCK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại A

+) Để BHCK là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow\widehat{BHC}=90^0\)

\(\Leftrightarrow BH\perp AC\)mà \(BE\perp AC\)

\(\Rightarrow H\equiv E\)MÀ \(BH\perp AC\)tại D

\(\Rightarrow BE\perp AC\)

\(\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A

Vậy để BHCK là hình chữ nhật thì tam giác ABC vuông tại A.

a, Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có :

Góc D = Góc E ( =90^o)

Góc A chung

\(\Rightarrow\Delta ADB\sim\Delta AEC\left(g-g\right)\)

b, Xét \(\Delta HEB\) và \(\Delta HDC\) có :

Góc E = Góc D (=90^o)

Góc ABD = Góc ACE ( \(\Delta ADB\sim\Delta AEC\) )

\(\Rightarrow\Delta HEB\sim\Delta HDC\left(g-g\right)\)

Suy ra : \(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\Rightarrow HE.HC=HD.HB\)

c, Ta có : \(CH\perp AB\)

\(BK\perp AB\)

=> CH // BK

C.minh tương tự : BH // CK

Suy ra : Hình tứ giác BHCK là hình bình hành

=> HM = HK

=> H,M,K thẳng hàng

d, Ta có : BHCK là hình thoi

<=> HC = HB

<=> \(\Delta HBC\) cân

<=> Góc HBC = Góc HCB

< => Góc ABC = Góc ACB

<=> \(\Delta ABC\) cân tại A

Ta có : BHCK là hình chữ nhật

<=> Góc BHC = 90^o

<=> BHC là \(\Delta\) vuông

<=> EHD = 90^o ( vì BHC = EHD do đối đỉnh )

<=> Góc EAD = 90^o ( Tổng 4 góc của tứ giác = 360 ^o )

<=> \(\Delta ABC\) vuông tại A

a) Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC(g-g)

c: Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hbh

=>M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

d: BACK là hình thoi

=>M là trung điểm của AK và AK vuông góc BC 

=>A,H,M thẳng hàng

=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC

tham khảo
a.Ta có BK//CH(⊥AB),CK//BH(⊥AC)BK//CH(⊥AB),CK//BH(⊥AC)

→BHCK→BHCK là hình bình hành

b.Vì BHCKBHCK là hình bình hành

→HK∩BC→HK∩BC tại trung điểm mỗi đường

Do MM là trung điểm BCBC

→M→M là trung điểm HKHK

→H,M,K→H,M,K thẳng hàng

c.Ta có O,MO,M là trung điểm AK,HKAK,HK

→OM→OM là đường trung bình ΔAHKΔAHK

→OM//AH→OM//AH

Do BD∩CE=H→HBD∩CE=H→H là trực tâm ΔABC→AH⊥BCΔABC→AH⊥BC

→OM⊥BC