Question

1. Cho ∆ ABC, đường cao BD và CE cắt nhau tại H.Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Cm:

a, ∆ADB~∆AEC

b, HE. HC=HD. HB

c, 3 điểm H, K, M thẳng hàng

d, ∆ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi, hình chữ nhật

Answer 1

a, Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có :

Góc D = Góc E ( =90^o)

Góc A chung

\(\Rightarrow\Delta ADB\sim\Delta AEC\left(g-g\right)\)

b, Xét \(\Delta HEB\) và \(\Delta HDC\) có :

Góc E = Góc D (=90^o)

Góc ABD = Góc ACE ( \(\Delta ADB\sim\Delta AEC\) )

\(\Rightarrow\Delta HEB\sim\Delta HDC\left(g-g\right)\)

Suy ra : \(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\Rightarrow HE.HC=HD.HB\)

c, Ta có : \(CH\perp AB\)

\(BK\perp AB\)

=> CH // BK

C.minh tương tự : BH // CK

Suy ra : Hình tứ giác BHCK là hình bình hành

=> HM = HK

=> H,M,K thẳng hàng

d, Ta có : BHCK là hình thoi

<=> HC = HB

<=> \(\Delta HBC\) cân

<=> Góc HBC = Góc HCB

< => Góc ABC = Góc ACB

<=> \(\Delta ABC\) cân tại A

Ta có : BHCK là hình chữ nhật

<=> Góc BHC = 90^o

<=> BHC là \(\Delta\) vuông

<=> EHD = 90^o ( vì BHC = EHD do đối đỉnh )

<=> Góc EAD = 90^o ( Tổng 4 góc của tứ giác = 360 ^o )

<=> \(\Delta ABC\) vuông tại A