\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+2m=m^2+1>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế: \(x_1x_2+x_1+x_2=-2\) (1)

\(x_1^2+x_1-x_2=5-2m\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_1-x_2=5+x_1x_2\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2):

\(\Rightarrow x_1^2+2x_1=3\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\Rightarrow x_2=-\dfrac{3}{2}\\x_1=-3\Rightarrow x_2=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thế \(x_1\) vào (1) để tính ra \(x_2\))

Thế vào \(x_1x_2=-2m\Rightarrow m=-\dfrac{x_1x_2}{2}\Rightarrow m=\pm\dfrac{3}{4}\)

cái này bạn lm cái điều kiện vs giải pt đối chiếu điều kiện Cho mik nhé

cái này mik phân tích đề Cho bạn hiểu 

Để phương trình 1 cso 2 nghiệm 

=> \(\Delta\ge0\)

<=>\(m\le6\)

=> Theo hệ thức Viét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x1+x2=6\\P=x1x2=2m-3\end{matrix}\right.\left(\circledast\right)\)

Vì x1 và x2 là nghiệm của pt 1 

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x1^2-6x1+2m-3=0\\x2^2-6x2+2m-3=0\end{matrix}\right.\)

<=> ​​​\(\left\{{}\begin{matrix}x1^2-5x1+2m-4=x1-1\\x2^2-5x2+2m-4=x2-1\end{matrix}\right.\left(\otimes\right)\)​

Theo bài ra ta có :

 ta được:

\(\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)=2\)

<=> x1x2 - \(\left(x1+x2\right)\) =1 *

Thay \(\left(\circledast\right)\) vào * ta được :

2m - 3 - 6 =1

<=>2m = 10

<=> m=5  <t/m>

Vậy....

hình như đề thiếu hả bạn

b1: tìm đk m t/m: Δ>0 ↔ m∈(\(\dfrac{1-\sqrt{10}}{2}\) ; \(\dfrac{1+\sqrt{10}}{2}\))

b2: ➝x1+x2 =-2m-1 (1)

      → x1.x2=m^2-1 (2)

b3: biến đổi : (x1-x2)^2 = x1-5x2

↔ (x1+x2)^2 -4.x1.x2 -(x1+x2) +6.x2=0

↔4.m^2 +4m +1 - 4.m^2 +4 +2m+1+6. x2=0

↔x2= -m-1

B4: thay x2= -m-1 vào (1) → x1 = -m

     Thay x2 = -m-1, x1 = -m vào (2) 

→m= -1

B5: thử lại:

Với m= -1 có pt: x^2 -x =0

Có 2 nghiệm x1=1 và x2=0 (thoả mãn)

Cách ngắn ngọn nhất:

⇔[x=2x=2m⇔[�=2�=2�

Phương trình (1) có 2 nghiệm là . Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm là x₁, x₂ nên ta chia làm 2 trường hợp:

TH₁: .

Có 

TH₂: 

Có 

Vậy m=0 hay m=3

\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+4\right)\)

   \(=4m^2+8m+4-4m^2-16\)

  \(=8m-12\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta>0\)

                                    \(\Leftrightarrow8m-12>0\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}\)

Theo hệ thức Vi-ét,ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\left(1\right)\\x_1x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)

                                            \(\left(1\right)\rightarrow x_2=2\left(m+1\right)-x_1\)

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2\left(m+1\right)\left[2\left(m+1\right)-x_1\right]=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+4\left(m+1\right)^2-2x_1\left(m+1\right)=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+4m^2+8m+4-2x_1\left(m+1\right)=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+m^2+8m-12-2x_1\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+m^2+8m-12-x_1\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+m^2+8m-12-x_1^2-x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-12-m^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-4+4\sqrt{2}\left(tm\right)\\m=-4-4\sqrt{2}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\left\{-4+4\sqrt{2}\right\}\)

theo dõi em ik idol

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=2m+4>0\Rightarrow m>-2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=14\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=14\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2+m^2-3=14\)

\(\Leftrightarrow5m^2+8m-13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\dfrac{13}{5}< -2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì Δ'>0

Δ'= [-(m+1)]²-1*(m²-3)>0

= m²+2m+1-m²+3>0

= 2m+4 >0

↔ 2m>-4

↔ m>-2

áp dụng hệ thức vi-ét ta có :

[x₁+x₂=2(m+1)=2m+2

[x₁x₂=m²-3

   ta lại có:    x₁²+x₂²+3x₁x₂ =14

<=> (x₁+x₂)²+x₁x₂=14

<=> (2m+2)² +(m²-3)=14

<=> 4m²+8m+4+m²-3-14=0

<=> 5m²+8m-17=0

Δ'=4²-5(-17)

=101

a)

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

\(=\left(-2m-4\right)^2-4\left(m-3\right)\)

\(=4m^2+16m+16\ge0\forall x\)

Suy ra: Phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Viet, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1\cdot x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4\cdot x_1x_2+2\cdot\left(x_1+x_2\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)+2\left(2m+4\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4m-12+4m+8+1=8\)

\(\Leftrightarrow8m=8+12-8-1\)

\(\Leftrightarrow8m=11\)

hay \(m=\dfrac{11}{8}\)

Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh 

b) 

Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(\Rightarrow P=4m^2+11m+31=4m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{11}{2}+\dfrac{121}{4}+\dfrac{3}{4}\) \(=\left(2m+\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

  Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow2m+\dfrac{11}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}\)

  Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=-\dfrac{11}{4}\)