a: Ta có: D và H đối xứng nhau qua AB

nên AH=AD và BH=BD

=>ΔAHD cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là tia phân giác của góc HAD(1)

Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của HE

=>AH=AE và CH=CE

=>ΔAHE cân tại A

mà AC là đừog coa

nên AC là phân giác của góc HAE(2)

Từ (1)và (2) suy ra \(\widehat{EAD}=2\cdot90^0=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đo: ΔAHB=ΔADB

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^0\)

=>BD\(\perp\)DE(3)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

CH=CE

AC chung

Do đo: ΔAHC=ΔAEC

Suy ra: \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)DE(4)

từ (3) và (4) suy ra BD//CE
hay BCED là hình thang

b: \(BD\cdot CE=BH\cdot CH=AH^2=\left(\dfrac{DE}{2}\right)^2\)

c: BC=5cm

=>\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=2.4\left(cm\right)\)

=>DE=4,8(cm)

\(\Delta\)AHB=\(\Delta\)ADB(c-c-c) thông qua việc chứng minh 2 cặp tam giác nhỏ

=>góc ADB=90(1)

\(\Delta\)AEC=\(\Delta\)AHC(c-c-c)cũng thông qua việc chứng minh 2 cặp tam giác nhỏ

=>góc CEA=90(2)

Mà:D;E;A thẳng hàng(3)

từ 1,2 và 3 suy ra BCED là hình thang

\(\Delta\)AEC đồng dạng \(\Delta\)BDA(g-g)=>BD.CE=AD.AE(1)

\(\Delta\)AIE=\(\Delta\)DKA(g-c-g)=>AE=AD=1/2DE(2)

1 và 2=>BD.CE=DE²/4

Hình bạn tự vẽ nhé

a, Ta có: D đối xứng với H qua AB \(\Rightarrow\)AB là đường trung trực mà A \(\in\)AB \(\Rightarrow AD=AH\)(1)

Tương tự ta có: \(AH=AE\)(2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow AD=AE\)

\(\Delta ADH\)có: \(AD=AH\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta ADH\)cân tại A có AB là đường trung trực \(\Rightarrow\)AB là phân giác của \(\widehat{DAH}\)\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAH}\)

Chứng minh tương tự với \(\Delta AHE\)\(\Rightarrow\)AC là phân giác của \(\widehat{HAE}\)\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{CAE}\)

\(\Delta ABC\)có: \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\)

Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{BAH}+\widehat{HAC}+\widehat{CAE}=\widehat{DAE}\)

hay \(2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=\widehat{DAE}\)

       \(2\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=\widehat{DAE}\)

       \(2.90^o=\widehat{DAE}=180^o\)

\(\Rightarrow\)D, A, E thẳng hàng

mà \(AD=AE\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)A là trung điểm của DE

b, Ta có: AB là đường trung trực mà B \(\in\)AB \(\Rightarrow BD=BH\)

Tương tự ta có: \(CH=CE\)

Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta AHB\)có: 

AB chung

\(AD=AH\left(cmt\right)\)

\(DB=BH\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta AHB\left(c-c-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^o\Rightarrow BD\perp DE\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AHC=\Delta AEC\left(c-c-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^o\Rightarrow EC\perp DE\)

Ta có: \(BD\perp DE\left(cmt\right)\)

          \(EC\perp DE\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BD//EC\)

Tứ giác BDEC có: \(BD//EC\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)BDEC là hình thang có \(\widehat{BDE}=\widehat{DEC}=90^o\Rightarrow\)BDEC là hình thang vuông

a, là hcn

câu b

từ câu a => hf // và = ae

mà hf = fm

=> fm // và = ae

=> đpcm

câu c

tam giác bnh có be vừa là dcao vừa trung tuyến

=> tam giác bnh cân b

=> bn=bh (1)

cmtt => ch=cm (2)

mà bc= bh+ch

=> bc^2 = (bh+ch+)^2

= bh^2 + 2 bh.ch +ch^2 (3)

(1) (2) (3) => ... (đpcm)

lười làm đầy đủ nên vắn ắt z thôi, thông cảm nhé ^_^

a: Xét ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Do đó: DE//BC

Xét tứ giác BDEC có DE//BC

nên BDEC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BDEC là hình thang cân

Cậu tự vẽ hình nhá 

a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên tam giác ADH cân tại A 

Tam giác ADH có AB là đường cao đồng thời là phân giác 

=> góc DAB = góc HAB 

Tương tự với tam giác AHE => góc HAC = góc EAC

Ta có : 

góc DAE = (góc DAH) + (góc HAE) = 2.(góc BAH) + 2.(góc HAC) = 2.(góc BAH + góc HAC) = 2.90 = 180

=> D,A,E thẳng hàng 

Nhận thấy 

Tam giác AHC đối xứng với tam giác AEC qua đoạn thẳng AC => góc AHC = góc AEC = 90⁰ (1)

Tương tự , ta cũng có : góc BHA = góc BDA = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)

b) Ta có : tam giác BHA đồng dạng với tam giác AHC 

Suy ra tỷ lệ \(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{HC}\Leftrightarrow AH^2=BH.HC\)

Mà BH = BD , HC = CE

=> \(AH^2=BD.CE\)

<=> \(4AH^2=4BD.CE\)

<=> \(\left(2AH\right)^2=4BD.CE\)           (Do AD = AH = AE)

<=> \(DE^2=4BD.CE\)

Ko bít !!