Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d \(\Rightarrow\) d' nhận (4;-3) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(4\left(x-2\right)-3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x-3y-5=0\)

Gọi N là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\)tọa độ N thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y+10=0\\4x-3y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-\dfrac{2}{5};-\dfrac{11}{5}\right)\)

M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d \(\Leftrightarrow\) N là trung điểm MM'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_N-x_M=-\dfrac{14}{5}\\y_{M'}=2y_N-y_M=-\dfrac{27}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M'\left(-\dfrac{14}{5};-\dfrac{27}{5}\right)\)

Lời giải:
Gọi $M'(a,b)$ là ảnh của $M$ đối xứng qua $d$
$\overrightarrow{MM'}=(a-2,b-1)$

Vì $\overrightarrow{MM'}\perp \overrightarrow{u_d}$ nên:

$\frac{a-2}{2}=\frac{b-1}{1}\Leftrightarrow a-2=2(b-1)(1)$

$I$ là trung điểm $MM'$. $x_I=\frac{2+a}{2}; y_I=\frac{b+1}{2}$

$3.\frac{2+a}{2}+4.\frac{b+1}{2}+10=0$

$\Leftrightarrow 3a+4b+30=0(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a=-6;b=-3$

Đường thẳng song song d nên nhận (3;-4) là 1 vtpt

Phương trình:

\(3\left(x-2\right)-4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-4y-2=0\)

Lấy điểm M( x₀; 1-2x₀)  nằm trên d.

Từ giả thiết ta có:

Chọn C.

Pt đường thẳng d' qua M và vuông góc d:

\(4\left(x-1\right)-3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow4x-3y+2=0\)

H là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-10=0\\4x-3y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{22}{25};\frac{46}{25}\right)\)

M' đối xứng M qua d \(\Leftrightarrow\) H là trung điểm MM'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_H-x_M=\frac{19}{25}\\y_{M'}=2y_H-y_M=\frac{42}{25}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(\frac{19}{25};\frac{42}{25}\right)\)

a: A(1;2); B(2;1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\)

=>VTPT là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-1)+2(y-1)=0

=>x-1+2y-2=0

=>x+2y-3=0

b:

M(1;3); Δ: 3x+4y+10=0

Khoảng cách từ M đến Δ là:

\(d\left(M;\text{Δ}\right)=\dfrac{\left|1\cdot3+3\cdot4+10\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{\left|3+12+10\right|}{5}=5\)

Do 2 đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau  nên d có véc tơ chỉ phương

.

Mà  d đi qua điểm M( -2; 3) nên d có phương trình tham số là:

Chọn B.

Do I thuộc d nên tọa độ có dạng: \(I\left(3a-8;-a\right)\)

(C) qua A nên \(IA=R\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(3a-6;-a-1\right)\Rightarrow R=\sqrt{10a^2-34a+37}\)

(C) tiếp xúc d' nên:

\(R=d\left(I;d'\right)\Leftrightarrow\sqrt{10a^2-34a+37}=\frac{\left|3\left(3a-8\right)+4a+10\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{10a^2-34a+37}=\left|13a-14\right|\)

\(\Leftrightarrow25\left(10a^2-34a+37\right)=\left(13a-14\right)^2\)

\(\Leftrightarrow81a^2-486a+729=0\)

\(\Leftrightarrow a=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(1;-3\right)\\R=5\end{matrix}\right.\)

Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=25\)

Gọi M là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\Rightarrow\) toạ độ M là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y+5=0\\2x+4y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{3}{8};\frac{31}{16}\right)\)

Do \(d//d_3\Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow{n_d}=\left(3;4\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(3\left(x+\frac{3}{8}\right)+4\left(y-\frac{31}{16}\right)=0\Leftrightarrow24x+32y-53=0\)