CMR: Pt \(\dfrac{1}{cosx}-\dfrac{1}{sinx}=m\) có nghiệm với mọi m thuộc R, sử dụng hàm số liên tục
CMR : Pt \(\frac{1}{cosx}-\frac{1}{sinx}=m\) có nghiệm với mọi m thuộc R, sử dụng hàm số liên tục
giúp mik vsss
Cho hàm số \(y=\dfrac{2sinx+1}{\sqrt{sin^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-2}}\). Có bao nhiêu giá trị của m thuộc khoảng (-2023;2023) để hàm số xác định với mọi x thuộc R
Hàm số xác định trên R khi và chỉ khi:
\(sin^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-2>0;\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow-cos^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-1>0\)
\(\Leftrightarrow t^2-\left(2m-3\right)t-3m+1< 0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)
\(\Leftrightarrow t^2+3t+1< m\left(2t+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}< m\) (do \(2t+3>0;\forall t\in\left[-1;1\right]\))
\(\Leftrightarrow m>\max\limits_{\left[-1;1\right]}\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}\)
Ta có: \(\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}=\dfrac{t^2+t-2+2t+3}{2t+3}=\dfrac{\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{2t+3}+1\)
Do \(-1\le t\le1\Rightarrow\dfrac{\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{2t+3}\le0\)
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[-1;1\right]}\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}=1\)
\(\Rightarrow m>1\)
1.Chúng minh pt 1/cosx - 2/sinx = m^2 -3m+1 luôn có nghiệm vói mọi gtri của tham số m
2.chúng minh ràng vói mọi a,b thuộc R pt cos2x+ acosx+bsinx=0 luôn có nghiệm
Cho hàm số f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 3 sin x - cos x - 1 2 cos x - sin x + 4 = f m 2 + 4 m + 4 có nghiệm?
A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 3
Chọn D.
Phương pháp:
+ Đặt 3 sin x - cos x - 1 2 cos x - sin x + 4 = t biến đổi đưa về a sin x + b cos x = c , phương trình này có nghiệm khi a 2 + b 2 ≥ c 2 từ đó ta tìm ta được điều kiện của t.
+ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình f x = f t
Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý rằng nếu hàm f t đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình f u = f v nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên a ; b ⇔ u = v
Cho hàm số y=\(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\) với x thuộc \(\left(\dfrac{\text{π}}{4};\dfrac{\text{π}}{2}\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = \(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\)
y = \(\dfrac{sin^2x}{sinx.cosx-cos^2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\dfrac{sin^2x}{cos^2x}}{\dfrac{sinx.cosx}{cos^2x}-1}+\dfrac{1}{4}\)
y = \(\dfrac{tan^2x}{tanx-1}+\dfrac{1}{4}\)
y = \(\dfrac{4tan^2x+tanx-1}{4tanx-4}\). Đặt t = tanx. Do x ∈ \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên t ∈ (1 ; +\(\infty\))\
Ta đươc hàm số f(t) = \(\dfrac{4t^2+t-1}{4t-4}\)
⇒ ymin = \(\dfrac{17}{4}\) khi t = 2. hay x = arctan(2) + kπ
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên R và f(0) = 0 f ( x ) + f ( π 2 - x ) = sin x . cos x , với mọi x ∈ R . Giá trị tích phân ∫ 0 π 2 x f ' ( x ) d x bằng
A. - π 4
B. 1 4
C. π 4
D. - 1 4
c1. điều kiện của tham số thực m để phương trình sinx +(m+1)cosx=\(\sqrt{2}\) vô nghiệm là
c2. Hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\right)\) B.\(\left(\dfrac{9\pi}{4},\dfrac{11\pi}{4}\right)\) C. \(\left(\dfrac{7\pi}{4},3\pi\right)\) D. \(\left(\dfrac{7\pi}{4},\dfrac{9\pi}{4}\right)\)
Giải thích rõ chi tiết cách lm giúp tui với nha, tự học nên mù mờ quá
C1: \(a.sinx+b.cosx=c\)
Pt vô nghiệm \(\Leftrightarrow a^2+b^2< c^2\)
Bạn áp dụng công thức trên sẽ tìm ra m
C2: (Bạn vẽ đường tròn lượng giác sẽ tìm được)
Hàm số \(y=sinx\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right)\) ( góc phần tư thứ IV và I)
Hàm nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\right)\)( góc phần tư thứ II và III)
Ý A, khoảng nằm trong góc phần tư thứ III và thứ IV => Hàm nghịch biến sau đó đồng biến
Ý B, khoảng nằm trong góc phần tư thứ I và thứ II => hàm đồng biến sau đó nghịch biến
Ý C, khoảng nằm trong góc phần tư thứ IV; I ; II => hàm đồng biền sau đó nghịch biến
Ý D, khoảng nằm trong phần tư thứ IV ; I=> hàm đồng biến
Đ/A: Ý D
(Toi nghĩ thế)
Giải pt
\(cotx-tanx=sinx+cosx\)
\(sinx+cosx+\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{1}{cosx}=\dfrac{10}{3}\)
1.
ĐK: \(x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)
\(cotx-tanx=sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{cosx}{sinx}-\dfrac{sinx}{cosx}=sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{cos^2x-sin^2x}{sinx.cosx}=sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{cosx-sinx}{sinx.cosx}-1\right)\left(sinx+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(1\right)\\cosx-sinx=sinx.cosx\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow t=\dfrac{1-t^2}{2}\left(t=cosx-sinx,\left|t\right|\le2\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1+\sqrt{2}\\t=-1-\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow cosx-sinx=-1+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{4}-arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
\(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi;x=\dfrac{\pi}{4}+arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi;x=\dfrac{5\pi}{4}-arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi\)