\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{5}\)

\(BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}\)

\(=-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AD}.2\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}^2+2\overrightarrow{AD}^2\)

\(=-a^2+2a^2=a^2\)

\(cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{AC.BD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

Tham khảo:

Cho hình thang vuông ABCD

Tất cả biểu thức đều là vecto, cái nào là độ dài thì nằm trong trị tuyệt đối:

\(\left|BD\right|=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{5}\)

\(\left|AC\right|=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{13}\)

a/ \(AB.BD=-BA.BD=-\left|AB\right|.\left|BD\right|.cos\widehat{ABD}\)

\(=-2a.a\sqrt{5}.\frac{2a}{a\sqrt{5}}=-4a^2\)

\(BC.BD=\left|BC\right|.\left|BD\right|.cos\widehat{DBC}=3a.a\sqrt{5}.\frac{a}{a\sqrt{5}}=3a^2\)

\(AC.BD=AC\left(BA+AD\right)=AC.BA+AC.AD\)

\(=AC.AD-AC.AB=\left|AC\right|.\left|AD\right|.cos\widehat{DAC}-\left|AB\right|.\left|AC\right|.cos\widehat{BAC}\)

\(=a.a\sqrt{13}.\frac{3a}{a\sqrt{13}}-2a.a\sqrt{13}.\frac{2a}{a\sqrt{13}}=-a^2\)

\(AC.IJ=\frac{1}{2}AC\left(AD+BC\right)=\frac{1}{2}AC.AD+\frac{1}{2}AC.BC\)

Ta có \(AC.AD=3a^2\) (ngay bên trên)

\(AC.BC=CA.CB=\left|CA\right|.\left|CB\right|.cos\widehat{BCA}=a\sqrt{13}.3a.\frac{3a}{a\sqrt{13}}=9a^2\)

\(\Rightarrow AC.IJ=6a^2\)

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \) đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \)cùng hướng

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

Do ABCD là hình vuông nên AC vuông góc BD

Do đó:

\(P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).2\overrightarrow{BD}\)

\(=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=2a.a.cos135^0=-a^2\sqrt{2}\)

a, \(AC=\dfrac{AB}{sin45^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}=a.a\sqrt{2}.cos45^o=a^2\)

b, \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\)

\(=AC.BD.cos90^o+AC.AD.cos45^o\)

\(=a\sqrt{2}.a\sqrt{2}.0+a\sqrt{2}.a.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

c, \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=AB.BD.cos135^o=-a.a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-a^2\)

d, \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}\)

\(=AD^2+BC.BD.cos45^o\)

\(=a^2+a.a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a^2\)

e, \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right)\)

\(=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}\right)\)

\(=4.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=4.AC.DB.cos90^o=0\)

Dễ thấy:

\(AD = BC\) nhưng \(AD\) và \(BC\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không bằng nhau.

\(CD > AB\) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) không bằng nhau.

\(AC\) và \(BD\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) không bằng nhau.