CMR: không có số nguyên dương(x,y) nào thỏa mãn:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x.y}+\dfrac{1}{y^2}=1\)
Help me!!!
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x.y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{x+2y}\)
\(P=\dfrac{x+2y}{2xy}+\dfrac{1}{x+2y}=\dfrac{x+2y}{4}+\dfrac{1}{x+2y}\)
\(P=\dfrac{x+2y}{16}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{3\left(x+2y\right)}{16}\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x+2y}{16\left(x+2y\right)}}+\dfrac{3}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
\(P_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. CMR:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{25}{2}\)
\(VT=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn x+y≤z. CMR: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge\dfrac{27}{2}\)
Đặt \(\dfrac{x}{z}=a;\dfrac{y}{z}=b\).
Theo gt ta có \(a+b\le1\).
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{21}{2}\).
Theo bđt AM - GM: \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge2;a^2+\dfrac{1}{16}a^2\ge\dfrac{1}{2};b^2+\dfrac{1}{16}b^2\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge\dfrac{15}{2}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên lại ta có đpcm.
Cho các số x, y, z dương thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=3\)
Cmr: \(\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2y+z+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\ge\dfrac{3}{16}\)
Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!
Cho x;y;z là các số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=12\)cmr
\(\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^3+1}}\ge1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=2020xyz\) . Cmr \(\dfrac{x^2+1+\sqrt{2020x^2+1}}{x}+\dfrac{y^2+1+\sqrt{2020y^2+1}}{y}+\dfrac{z^2+1+\sqrt{2020z^2+1}}{z}\le2020.2021xyz\)
\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)
BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)
Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:...
\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{6xy}=\dfrac{1}{6}\)
\(...\Leftrightarrow\dfrac{x+y+1}{6xy}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow x+y+1=xy\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3;y=2\\x=2;y=3\end{matrix}\right.\)
Mình biến đổi nhầm. Nhưng theo hướng đó bạn có thể làm cách khác.
Quy đồng mẫu
X+Y=XY-1=a
X và Y và 2 nghiệm dương của pt
X²-ax+a+1
Để pt có nghiệm nguyên thì
Delta phải chính phương
<=> a²-4a-4=K²<=> -8=(K-a+2).(k+a-2)
Tìm ước dể rồi nhé
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y>=3\). Chứng minh :\(x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2y}>=\dfrac{9}{2}\) Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\)
Tìm GTNN của C = x+y
Đề bài sai, C không có giá trị nhỏ nhất
Nếu \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\) thì có thể tìm được min của C